Appunti di viaggio di un fisico curioso...... della bellezza di tutto quello che ci circonda,dell'irragionevole efficacia della matematica nello spiegare il mondo intorno a noi, della continua lotta della vita tra ordine e caos, curioso dell'emergenza della complessita' da regole elementari e tant'altro....... Sara' un viaggio divertente e spero ricco di sorprese.
mercoledì 5 settembre 2012
Il grande freddo alla base della nascita del nostro Universo
venerdì 24 agosto 2012
Extraterrestri e numeri primi
Come va interpretato questo messaggio? Esso consiste di 7 parti che codificano le seguenti informazioni:
1. I numeri da 1 a 10
2. I numeri atomici degli elementi presenti nel nostro DNA
3. Le formule dello zucchero e delle basi presenti nel DNA
4. Il numero di nucleotidi presenti nel DNA e un grafico della sua doppia elica
5. La figura di un uomo, l’altezza media di una persona e la popolazione della Terra
6. Un grafico del sistema solare
7. Un grafico del radiotelescopio di Arecibo e le dimensioni dell’antenna
(C5OH7) (C5H4N5) (C5H5N2O2) (C5OH7)
(PO4) (PO4)
(C5OH7) (C4H4N3O) (C5H4N5O) (C5OH7)
(PO4) (PO4)
I nucleotidi vengono raffigurati come sequenze di 5 atomi che rappresentano la formula della molecola.
Per esempio, nel caso della formula C5OH7, questa viene rappresentata nella parte in alto a sinistra dell’immagine e si legge come:
Le due colonne bianche di pixel ancora una volta vanno interpretate come sequenze di 1 e 0 dall’alto verso il basso.
Subito dopo viene riportato il sistema solare dove noi viviamo. Viene riportato il sole e i pianeti in base alla loro distanza da esso: Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove, Saturno, Urano, Nettuno e Plutone. Per evidenziare la Terra, da cui e’ stato inviato il messaggio, essa e’ stata rappresentata spostata in alto rispetto agli altri pianeti e subito sopra c’e’ la stilizzazione della figura umana.
E’ poi la volta della bellissima immagine del Telescopio da cui e’stato inviato il messaggio. Nella parte sottostante del telescopio in bianco, viene riportato in notazione binaria la dimensione del telescopio (306,18 m)
A questo punto non ci resta che riportare il messaggio per intero così come e’ stato inviato nello spazio. Ci risponderà mai nessuno? Credo che questa sia una domanda a cui difficilmente si potrà dare una risposta, almeno in tempi brevi.
Una cosa e’ certa: l’utilizzo dei numeri primi rende più semplici i messaggi da inviare nello spazio e allo stesso tempo piu’ difficili da decriptare quelli che viaggiano sulla Terra. E dire che fino a pochi anni fa, i numeri primi non erano altro che una semplice curiosità dei matematici.
domenica 29 luglio 2012
Un problema molto complesso – La congettura di Collatz
Consideriamo un qualsiasi numero intero positivo n.
- Se n e’ pari, lo dividiamo per 2
- Se n e’ dispari, lo moltiplichiamo per 3 e aggiungiamo 1.
Figura 1: Grafico dei tempi di arresto per i numeri da 2 a 9999.
Figura 2: Distribuzione dei tempi di arresto per i numeri da 2 a 20000.
Figura 3: Grafico della sequenza di Collatz per il numero di partenza 27. Il tempo di arresto e’ di 111 passi.
sabato 14 luglio 2012
Piramidi di numeri primi palindromi
Sono tanti quelli che hanno avuto la possibilità di ammirare la grandiosità delle piramidi di Giza. Si tratta di opere straordinarie su cui ancora molto si discute. Non si sa ancora con certezza, se all’interno le pareti erano ricoperte di pitture e geroglifici come quasi tutte le altre tombe egizie. Se effettivamente fossero strutture legate ad oggetti stellari (vedi per esempio la teoria di Bouval secondo la quale le tre piramidi altro non sono che la rappresentazione sulla terra delle stelle della cintura della costellazione di Orione) o se invece fossero delle semplici tombe.
In questo capitolo, anche noi, ci occuperemo di piramidi, ma di piramidi matematiche i cui mattoni sono le pietre infrangibili della matematica: i numeri primi.
Ma non tutti i primi vanno bene. Per generare la simmetria delle piramidi rispetto all’asse centrale, bisogna considerare solo i primi palindromi. Ricordiamo che i numeri palindromi sono quei numeri che si leggono allo stesso modo da sinistra a destra e viceversa. Partendo col numero primo 2, per esempio, è possibile costruire due piramidi di altezza 5. Diversamente dagli antichi, noi costruiamo le nostre piramidi dall’alto verso il basso.
Ogni gradino è un numero primo palindromo con il precedente gradino che costituisce le cifre centrali. Queste due piramidi sono le più alte che si possono costruire partendo con il numero 2. Le piramidi più alte che si possono costruire partendo con i numeri primi di una sola cifra sono raffigurate di seguito.
Ma è possibile costruire piramidi sempre più alte?
Se invece di considerare come punto di partenza numeri primi ad una cifra, iniziamo le piramidi con numeri primi palindromi con più cifre è possibile costruirne di più alte? E l’altezza di queste piramidi è sempre finita? Abbiamo visto che partendo con un numero primo ad una cifra e aggiungendo ad ogni lato una nuova cifra, l’altezza massima che si riesce ad ottenere è 5. Questo perché dovendo essere ogni gradino un numero primo abbiamo solo 4 possibili scelte per le cifre da aggiungere su ogni lato: 1, 3, 7, 9.
Partendo con numeri primi più grandi probabilmente non aiuta molto di più. Ma ce ne sono così tanti con cui partire che si può avere fortuna. Qui un esempio di tronco di piramide di altezza 9, che ho trovato nel 2000 e pubblicato in internet sul sito dell’Enciclopedia on-line delle sequenze di numeri interi con codice identificativo A046210.
7159123219517
371591232195173
33715912321951733
7337159123219517337
973371591232195173379
39733715912321951733793
3397337159123219517337933
933973371591232195173379339
39339733715912321951733793393
Se invece di aggiungere due cifre, una per ogni lato, consideriamo la possibilità di aggiungerne 4, due per lato, allora partendo con il numero primo 2 è possibile costruire una piramide costituita da ben 26 gradini come mostrato di seguito. Proprio una bella struttura.
2
30203
903020309
3790302030973
98379030203097389
969837903020309738969
9996983790302030973896999
72999698379030203097389699927
997299969837903020309738969992799
9099729996983790302030973896999279909
94909972999698379030203097389699927990949
779490997299969837903020309738969992799094977
7977949099729996983790302030973896999279909497797
17797794909972999698379030203097389699927990949779771
751779779490997299969837903020309738969992799094977977157
7375177977949099729996983790302030973896999279909497797715737
72737517797794909972999698379030203097389699927990949779771573727
987273751779779490997299969837903020309738969992799094977977157372789
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397030987273751779779490997299969837903020309738969992799094977977157372789030793
3539703098727375177977949099729996983790302030973896999279909497797715737278903079353
36353970309872737517797794909972999698379030203097389699927990949779771573727890307935363
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3433363539703098727375177977949099729996983790302030973896999279909497797715737278903079353633343
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La stessa cosa si può fare usando come seme di partenza gli altri numeri primi di una sola cifra. C’è una piramide di altezza 29 per entrambi i numeri di partenza 5 e 7, mentre per il numero primo 3 la massima altezza è 28.
Sicuramente aumentando la dimensione della stringa di numeri da aggiungere ai due lati porterà a piramidi con altezze sempre maggiori. Ma di quanto? Quante piramidi è possibile costruire?
Indichiamo con l(n) il numero di cifre del numero n. Sia f(n,h,d) il numero di piramidi con altezza h, con numero primo iniziale n e con d cifre aggiunte ad ogni passo.
Per esempio, f(2,1,d)=1 in quanto c’è una sola piramide con numero iniziale 2 e altezza 1.
Al contrario f(101,2,2)=4 in quanto ci sono 4 piramidi con numero iniziale 101, altezza 2 e passo 2.
È possibile stimare la funzione f(n,h,d) e quindi calcolare la massima altezza ottenibile?
La risposta è si.
In base al teorema dei numeri primi, il numero di primi tra 2 e x è dato in modo approssimato da x/ln(x). Un’interpretazione di questo teorema è che la probabilità che un numero intero scelto a caso sia primo è dato da 1/ln(x). Quando costruiamo la piramide di numeri primi palindromi spostandoci da un gradino a quello successivo, ci sono 10*d interi da provare e quindi:
Nella figura di seguito è riportato l’andamento della curva approssimata per il caso n=2 e d=2.
Grafico della funzione f(2,h,2)/f(2,h-1,2). Notare l’ottimo accordo tra i dati reali
e quelli stimati.La coincidenza tra i dati e la curva approssimata è molto buona.
Osservare che man mano che h cresce il numero delle piramidi comincia a decrescere rapidamente e tende verso zero.
Per questo motivo, due studiosi di numeri primi, G.L. Honaker e Chris Caldwell, hanno congetturato che:
Congettura: Tutte le piramidi prime palindrome con un fissato passo d, hanno un’altezza finita.
Essi hanno inoltre trovato una formula per f(n,h,d) data da:
Osservare che per d=3 e n=2 questa relazione predice che ci dovrebbero essere circa 1030 possibili piramidi. Questo fa capire che voler cercare le piramidi più alte con un programma per computer è impensabile. Considerando, comunque, un numero limitato di piramidi (un massimo di 160), Honaker e Caldwell hanno trovato un altezza massima di 94, 101, 102, e 100 per i numeri primi di partenza 2, 3, 5,e 7 rispettivamente. Se fissiamo il passo d, questo limita le piramidi ad avere un’altezza finita. E se invece permettiamo a d di prendere qualsiasi valore? Argomenti analoghi a quelli riportati precedentemente suggeriscono che per qualsiasi numero primo palindromo di partenza si dovrebbe essere capaci di costruire piramidi tanto alte quanto si vuole. Chiaramente l’altezza h delle piramidi in media è proporzionale allo step d. C’è un caso particolare molto interessante. Supponiamo che per ogni gradino della piramide, il numero palindromo da utilizzare, sia il più piccolo possibile indipendentemente da d. In questo caso partendo da 2 la piramide inizialmente dovrebbe essere la seguente:
2
727
37273
333727333
93337273339
309333727333903
1830933372733390381
92183093337273339038129
3921830933372733390381293
1333921830933372733390381293331
18133392183093337273339038129333181
Questa piramide può essere considerata come una sequenza dove ogni termine è rappresentato da un gradino. Cioè: a1=2, a2=727, a3=37273 ........
Questa sequenza può anche essere condensata scrivendo a1 seguito dalle cifre che sono aggiunte sulla sinistra ad ogni stadio della piramide.
2, 7, 3, 33, 9, 30, 18, 92, 3, 133, 18, 117, 17, 15, 346, 93, 33, 180, 120, 194, 126, 336, 331, 330, 95, 12, 118, 369, 39, 32, 165, 313, 165, 134, 13, 149, 195, 145, 158, 720, 18, 396, 193, 102, 737, 964, 722, 156, 106, 395, 945, 303, 310, 113, 150, 303, 715, 123
Un’altra sequenza di numeri primi palindromi può essere generata cercando di dare una risposta ad una questione che l’autore ha pubblicato su internet nel 2000 (sequenza A046210) e che recita:
Qual è il più piccolo numero primo palindromo che genera una piramide di altezza massima n?
La sequenza considerando d=1, inizia con:
11, 131, 2, 929, 10301, 16361, 10281118201, 35605550653, 7159123219517…
11 è il più piccolo numero primo che genera una piramide di altezza 1.
Infatti, tutti i numeri che si possono formare con le cifre 2, 3, 7, 9 non sono primi.
Il numero primo successivo 131, è il più piccolo numero primo che forma una piramide di altezza 2 e cosi via.
Come continua questa sequenza? Ad oggi nessuno lo sa, anche se nuove scoperte possono essere dietro l’angolo.
lunedì 2 luglio 2012
La gravita’. Una forza ancora misteriosa
La gravita’ e’ una delle quattro forze fondamentali della natura. Le altre tre sono la forza nucleare che tiene insieme i protoni e neutroni all’interno del nucleo, la forza debole che regola il decadimento beta del nucleo (un neutrone si trasforma in un protone con l’emissione di elettroni e neutrini) e la forza elettromagnetica che tiene insieme gli elettroni intorno al nucleo. La forza gravitazionale e’ di tipo attrattivo ed e’ quella che ci mantiene sulla superficie della Terra e quella che fa orbitare la luna intorno alla terra come anche la terra intorno al sole e cosi via.
Sia l’interazione nucleare forte che quella debole hanno un raggio di azione limitato mentre quella gravitazionale ed elettromagnetica hanno un raggio di azione infinito. Ma come si spiega un’interazione con raggio di azione infinito? Come fanno le cariche o le masse ad interagire a distanze anche infinite? Il modello Standard ha risolto il problema assumendo che la forza sia la manifestazione dello scambio di un quanto mediatore che viene continuamente scambiato tra due oggetti, siano esse cariche, masse o nucleoni. Per capire come funzionano le cose pensate a due giocatori di tennis che vengono mantenuti in gioco dalla palla che si scambiano. I giocatori interagiscono tra di loro grazie alla palla scambiata.
Tra i mediatori previsti dal modello standard solo il gravitone non e’ stato ancora scoperto.
Ritorniamo alla forza di gravita’ di Newton, scoperta nel 1687 e formulata nel modo seguente: tutti i corpi si attraggono reciprocamente con una forza di intensità
F= G· (M·m)/r2
dove G=6.67259X10-11 N·m2/Kg2 è la costante di gravitazione universale. Il modulo di questa forza quindi e’ direttamente proporzionale alle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Osserviamo che la costante gravitazionale e’ un numero molto piccolo ma nonostante cio’ la gravitazione e’ la forza che permea l’intero universo ed esercita la sua azione fino ai confini estremi del cosmo. Se questa fosse solo leggermente piu’ piccola o piu’ grande del valore attuale l’universo non sarebbe quello che vediamo oggi.
La gravita’ e’ stata la forza che subito dopo il Big Bang ha attratto la materia in strutture molto grandi all’interno delle quali si sono poi formate le galassie nelle quali hanno avuto inizio le stelle.
Ed e’ sempre la gravita’ che regola la vita delle stelle e la loro morte una volta che esauriscono il combustibile nucleare compattando la materia e formando cosi stelle di neutroni o buchi neri.
Sulla Terra, essa trascina giu’ i massi dalle montagne, muove i ghiacciai, crea le maree, fa cadere le mele dagli alberi e ci affatica durante la salita. I fisici hanno compreso tutti i dettagli della gravita’ e riescono a fare previsioni con grande accuratezza. Ad ogni modo c’e’ il sospetto che c’e’ qualcosa che ancora manca, qualche cosa di abbastanza grande da cambiare o addirittura unificare la maggior parte delle nostre teorie dell’universo.
La gravita’ e’ stata la prima forza ad essere studiata. Il grande scienziato Isaac Newton nel 1666 cercando di comprendere il moto degli oggetti arrivo’ alla famosissima formula F=ma, cioe’ la forza che muove un oggetto e’ uguale al prodotto della sua massa per la sua accelerazione.
Piu’ la forza sull’oggetto e’ intensa e maggiore sara’ la sua accelerazione. Newton mettendo insieme la sua equazione con quella che aveva trovato Keplero, che dice che le distanze dei pianeti dal sole sono legate al tempo che i pianeti impiegano per orbitare intorno al sole, arriva alla descrizione del moto degli oggetti attratti dalla Terra. Ma non si fermo’ qui. Ando’ oltre estendendo la sua legge che aveva trovato per gli oggetti nelle vicinanze della Terra, agli oggetti celesti presenti in tutto l’universo. Newton chiamo’ questa legge la legge universale gravitazionale: indipendentemente se si tratta di una mela o di un pianeta, se si sta cadendo da un albero o orbitando nello spazio la legge che governa il nostro moto sara’ sempre la stessa. Usando l’equazione di Newton e’ possibile misurare le masse di oggetto lontani dalla Terra, come per esempio il sole, il pianeta Giove, la stella Sirio etc etc. Non solo. La gravitazione universale ci permette anche di “pesare” la cosiddetta materia oscura che permea l’intero universo e la cui natura e’ ancora sconosciuta.
Mappa in 3D della materia oscura (NASA, ESA and R. Massey)
La sua esistenza e’ stata formulata la prima volta all’interno del modello del Big Bang per spiegare la formazione delle galassie e degli ammassi in un tempo cosi breve come quello osservato per l’eta’ dell’universo (13.7 miliardi di anni). Un’evidenza osservativa della presenza della materia oscura e’ fornita dalle curve di rotazione delle galassie a spirale. Queste galassie posseggono una vasta popolazione di stelle che orbitano intorno al centro galattico. Secondo la terza legge di Keplero, le stelle con orbite galattiche piu’ grandi dovrebbero avere velocita’ di rotazione minori. Quindi le stelle alla periferia della galassia dovrebbero avere una velocita’ molto bassa come mostrato nel grafico sottostante dalla curva A.
Curva di rotazione di una galassia: (A): predetta; (B): osservata.
Tuttavia le misure effettuate dagli astronomi, mostrano una velocita’ per le stelle periferiche quasi uguale a quella delle stelle vicino al centro galattico come mostrato dalla curva B del grafico precedente. Questo andamento della velocita’ di rotazione puo’ essere spiegato introducendo il concetto di materia oscura che forma un alone intorno alle galassie che aumenta man mano che ci si sposta verso i confini della galassia. In prima approssimazione considerando una stella periferica di una qualsiasi galassia, l’eguaglianza tra la legge di gravitazione e la forza centrifuga ci porta alla seguente relazione
V 2(r) = GM(r)/r
dove v e’ la velocita’ rotazionale della stella alla distanza r dal centro galattico ed M la massa totale all’interno del raggio r. Affinche’ la velocita’ sia costante bisogna assumere che la massa aumenti con il raggio r. Ma dalle osservazioni delle galassie emerge che la materia visibile e’ concentrata principalmente nel centro galattico mentre diminuisce sempre di piu’ man mano che ci si sposta vero la periferia della galassia. Da qui la necessita’ di ipotizzare l’esistenza di una materia non visibile che aumenta verso l’esterno delle galassie.
Ritorniamo alla forza gravitazionale. Come abbiamo gia’ detto essa e’ una forza a lungo raggio ma non sappiamo come essa agisce tra i corpi istantaneamente a qualsiasi distanza essi si trovano. In effetti i fisici non hanno mai accettato di buon grado questa “azione a distanza” incluso lo stesso Newton.
Einstein anche non accettava questa idea e trovo’ un’alternativa. Nella sua teoria generale della relativita’ egli propose che la gravita’ altro non e’ che il risultato della natura dello spazio-tempo. Questo puo’ essere pensato come una struttura continua tridimensionale che un corpo puo’ deformare con la sua massa; piu’ un corpo e’ massiccio, maggiore e’ la deformazione. L’interazione gravitazionale viene interpretata in termini geometrici: un corpo massiccio deforma lo spazio tempo e se un corpo piu’ piccolo entra all’interno di questa “valle” esso comincera’ a ruotare intorno al grande corpo.
Ma la teoria di Einstein ha un problema: la gravita’ non si adegua alle altre tre forze presenti nell’universo (la forza elettromagnetica, la forza debole e quella forte). Quest’ultime possono essere descritte in termini quantistici come dei campi creati e trasportati da onde che allo stesso tempo possono essere anche particelle (dualita’ onda particelle). Ad oggi le onde gravitazionali anche se previste su base teorica ancora non sono state rilevate e le particelle associate a queste onde chiamate gravitoni probabilmente non potranno mai essere individuate. Questa forza cosi familiare, presente nella vita di tutti i giorni come si spiega allora?
E qui la gravita’ diventa strana. Se la gravita’ e’ come ritengono i fisici, la massa che dice allo spazio come curvare e lo spazio dice a sua volta alla massa come muoversi e chiaro che spazio e massa sono indissolubilmente legate tra loro.
Ma secondo la famosa equazione di Einstein E = mc2, la massa e’ equivalente all’energia da cui possiamo dedurre che anche lo spazio deve avere energia. E in effetti e’ proprio cosi. In meccanica quantistica, infatti, anche lo spazio vuoto ha un’energia diversa da zero e dai conti fatti dai fisici teorici questa energia dovrebbe essere cosi grande da curvare lo spazio in modo da poter ricondurre il nostro Universo alle dimensioni di un protone. Ma nella realta’ noi sappiamo che cio’ non e’ vero. E i problemi non finiscono qui. Negli ultimi anni le misure effettuate dagli astrofisici ci dicono che l’universo non sta decelerando sotto l’azione della gravita’ come previsto ma che addirittura sta accelerando. C’e’ qualche cosa che si sta opponendo alla azione attrattiva della gravitazione. Ma cosa? I fisici l’hanno chiamata energia oscura e la spiegazione piu’ elegante di questo concetto e’ l’energia associata al vuoto. In altre parole l’accelerazione dell’universo puo’ essere spiegata dalla cosiddetta costante cosmologica di Einstein indicata con Λ che e’ legata alla densita’ energetica del vuoto tramite l’equazione:
Qui G e’ la costante gravitazionale universale e rho la densita’ di energia del vuoto. Le osservazioni di un universo in accelerazione sembrano confermare la teoria inflazionistica di Alan Guth secondo la quale l’universo nascente passo’ attraverso una fase di espansione esponenziale spinto da una densita’ di energia di vuoto negativa (ovvero una pressione di vuoto positiva) cioe’:
dove c indica la velocita’ della luce e p la pressione.
Comunque l’energia del vuoto non risolve il problema dell’energia oscura. Infatti se si confronta la quantita’ di energia oscura presente nell’universo con quella relativa al vuoto si trova che questa e’ solo una piccola parte. E’ possibile che i calcoli siano sbagliati? Al momento nessuno lo sa. Forse la teoria delle stringhe o la teoria della gravitazione quantistica a loop un giorno potranno darci una risposta.
Un altro mistero legato alla forza di gravita’ e’ quello delle onde gravitazionali. Questo sono create quando dei corpi accelerati distorcono lo spazio-tempo. Un esempio e’ quello di due stelle di neutroni che coalescendo possono dare origine ad un buco nero. In questo caso lo spazio-tempo verrebbe cosi distorto che le onde gravitazionali prodotte dovrebbero avere intensita’ molto grandi e quindi rilevabili.
L’esperimento ad oggi piu’ sensibile e’ il Laser Interferometer Gravitational-waver Observatory anche chiamato LIGO, che puo’ misurare distorsioni fino a 10-18 metri. Comunque ad oggi non sono state ancora osservate onde gravitazionali. Ma potrebbe essere solo un problema di sensibilta’ degli strumenti. Per questo motivo l’esperimento LIGO sta ricevendo degli aggiornamenti per renderlo capace di rilevare onde gravitazionali su un largo volume di cielo.
La scoperta delle onde gravitazionali e’ molto importante non solo da un punto di vista teorico (a conferma di questa o quella teoria) ma anche da un punto di vista delle nuove informazioni che essa potrebbe portare.
Le onde gravitazionali, non trasportano solo energia, ma anche informazioni su come esse sono state prodotte. Per esempio le onde prodotte da un’esplosione di una supernova sono completamente diverse da quelle prodotte dalla fusione di due buchi neri. Le radiazioni elettromagnetiche possono essere assorbite o emesse dalla materia che si interpone tra noi e la sorgente astronomica. Questo rende gli oggetti osservati “sfocati” o addirittura non visibili. Per esempio con l’analisi della radiazione elettromagnetica non potremo mai studiare l’interno del sole o di una supernova ma solo gli strati piu’ esterni. Al contrario le onde gravitazionali potrebbero informarci sugli eventi che le hanno generate essendo trasparenti alla maggior parte degli oggetti astronomici.
Concludendo, la forza gravitazionale anche se e’ stata la prima delle forze ad essere scoperte e’ quella che ancora presenta molti interrogativi aperti a cui i fisici nei prossimi anni dovranno cercare di dare una risposta.