Come gli algoritmi stanno cambiando il corso della matematica

I matematici a lungo si sono chiesti se fosse possibile esprimere il numero 33 e 42 come somma di 3 cubi, cioe’ se l’equazione 33=x³+y³+x³ e  42=x³+y³+z³    avesse  una soluzione. Si sa che 29 puo’ essere scritto come 3³+1³+1³, per esempio, mentre 32 non e’ esprimibile come somma di 3 interi ognuno elevato alla terza potenza; ma dopo circa 60 anni nulla si sa per il 33 e 42.   Negli ultimi mesi, Andrew Booker un matematico dell’Universita’ di Bristol ha finalmente risolto l’enigma grazie all’utilizzo di potenti supercomputer. Ha scoperto che:  

1.     33=(8,866,128,975,287,528)³ + (–8,778,405,442,862,239)³ + (–2,736,111,468,807,040)³

2.     42=(-80,538,738,812,075,974)³ + (80,435,758,145,817,515)³ + (12,602,123,297,335,631)³

Si tratta di interi con un elevato numero di cifre (16 e 17). Pensate che questi numeri hanno un ordine di grandezza 7/8 volte maggiore della distanza Terra-Sole espressa in Km. Da qui si evince la necessita’ dell’impiego di supercomputer per portare a termine la ricerca di tali mostri numerici. Questa notizia si e’ subito diffusa sulla rete e c’e’ stata una grande euforia da parte degli ambienti di Teoria dei numeri. Ma perche’?  Di sicuro una parte e’ giustificata dalla difficolta’ nel trovare la soluzione di queste equazioni. E’ dal 1955 che i matematici hanno provato a trovare le soluzioni intere che soddisfano l’equazione:

k = x³ + y³ + z³

con k, x, y e z numeri interi.

In alcuni casi le soluzioni sono facili, come per k=29; altre volte si sa che la soluzione non esiste, come per tutti i numeri k che lasciano un resto di 4 o 5 quando divisi per 9, come per il numero 32. In genere pero’ le soluzioni non sono cosi triviali, come per il caso di 33 e 42 dove i 3 interi sembrano quelli di un biglietto della lotteria senza alcuna struttura prevedibile.

Al momento, per i matematici il solo modo per scoprire queste soluzioni e’ l’utilizzo della forza bruta dei computer per provare le differenti combinazioni di cubi di interi e sperare nella vittoria.  Con la soluzione trovata da Booker non ci sono altri interi k al di sotto di 100 per cui non si conosce la soluzione dell’equazione cubica.  Questo  risultato e’ arrivato non solo grazie all’utilizzo di un supercomputer molto veloce ma anche grazie ad un nuovo modo di effettuare la ricerca delle soluzioni (nuovo algoritmo).

E per k maggiore di 100 cosa succede? Ci sono al momento 11 interi che ancora resistono tra 100 e 1000 e una infinita’ di essi oltre 1000.  Purtroppo non c’e’ alcuna indicazione teorica, nessun pattern che possa permettere ai matematici di avere un’idea di dove cercare. Il classico ago in un pagliaio.  Ma allora, perche’ impegnare del tempo nella ricerca di questi numeri?

Quello che e’ interessante, secondo Booker, e’ che ogni nuova soluzione puo’ aiutare a decidere cosa e’ vero circa il problema della somma dei 3 cubi. L’equazione di questo problema 

k = x³ + y³ + z³

e’ quella che I teorici chiamano un’equazione Diofantea, una specie di struttura algebrica, le cui proprieta’ hanno affascinato i matematici per millenni. Queste equazioni sono delle equazioni polinomiali le cui variabili sconosciute hanno dei valori interi. Esse compaiono in diversi problemi, anche piuttosto semplici della vita quotidiana. Esistono anche i sistemi di equazioni diofantee che rappresentano una naturale estensione delle equazioni. Ad esempio,  si immagini che un negoziante debba acquistare un certo numero di maglioni a collo basso da 40 € ed un certo numero di maglioni a collo alto da 60 €, avendo a disposizione 560 €. Si desidera sapere quanti maglioni di un tipo e quanti dell’altro riesce ad acquistare, nell’ipotesi di voler spendere l’intera cifra a disposizione. Indicando con y il numero di maglioni a collo basso acquistati, ovviamente intero, essendo improbabile che il negoziante voglia acquistare mezzo maglione, e con x quello dei maglioni a collo alto, deve essere

40y + 60x = 560 → 2y + 3x = 28 .

Si tratta di un’equazione in due incognite con coefficienti interi di cui si ricercano le soluzioni intere.

Qualche elementare considerazione numerica fornisce i risultati presentati nella tabella precedente. Dunque, il negoziante ha alcune possibilità, rappresentate dai quattro punti evidenziati in figura, e deciderà di approvvigionarsi di un tipo oppure dell’altro tipo di maglione, a seconda delle scorte di magazzino che possiede. È opportuno sottolineare che, se non vi fosse stato il vincolo delle soluzioni intere, il problema avrebbe ammesso infinite soluzioni, rappresentate da tutti i punti che si trovano sulla retta di seguito disegnata.

Se il negoziante dell’esempio appena sviluppato avesse avuto a disposizione solamente di 550 €, decidendo sempre di spendere l’intera somma a disposizione, come sarebbe cambiata la soluzione? Ebbene, sembra incredibile, ma non esiste alcuna combinazioni di numeri interi che soddisfa l’equazione

40𝑥 + 60𝑦 = 550 → 4𝑥 + 6𝑦 = 55.

È facile convincersi di quanto affermato, osservando che il primo membro è sempre un numero pari, mentre il secondo è dispari.

Le proprieta’ fondamentali delle equazioni Diofantee, ancora impegnano i matematici di tutto il mondo. Per esempio, non esiste nessun metodo affidabile che ci possa dire se una equazione Diofantea abbia o no una soluzione. Secondo Booker, il problema della somma dei 3 cubi e’ una tra le piu’ semplici delle equazioni Diofantee. E’ esattamente alla frontiera di cosa puo’ ancora essere maneggiato anche se con difficolta’.   Per questa ragione, gli esperti di Teoria dei Numeri sono desiderosi di capire tutto quello che c’e’ da capire sulla somma dei 3 cubi. 

Un risultato sicuramente piu’ eclatante, sarebbe quello di provare la congettura che 

k = x³ + y³ + z³

ha un’infinita’ di soluzioni per ogni numero intero k, ad eccezione di quelli che hanno come resto 4 o 5 quando divisi per 9. Gli strumenti concepiti per tale dimostrazione potrebbero aiutare a forzare la logica del problema o essere applicati ad altre equazioni Diofantee. I risultati di Booker, offrono un supporto per questa congettura, dando ai matematici una maggiore confidenza sulla ricerca della dimostrazione. In realta’, ogni qualvolta i matematici hanno fatto una ricerca estendendo l’intervallo numerico, hanno trovato nuove soluzioni rimuovendo cosi possibili controesempi alla congettura.

Ma chi era Diofanto? Vissuto nel III secolo dopo Cristo, è considerato l’iniziatore del calcolo algebrico. Scrisse un trattato sui numeri poligonali e sulle frazioni, ma la sua opera principale sono gli Arithmetica, un trattato in tredici volumi dei quali soltanto sei sono giunti fino a noi. La sua fama è principalmente legata a due argomenti: le equazioni indeterminate ed il simbolismo matematico. Ben poco si sa della sua vita e quel poco è stato trasmesso da Herbert Westren Turnbull (31 agosto 1885 – 4 maggio 1961), un storico inglese della Matematica che ha rinvenuto e tradotto l’epigramma greco, noto come Epitaffio di Diofanto. Si tratta di un problema aritmetico proposto sotto forma di epigramma e fa parte di una raccolta di quarantasei indovinelli, che il grammatico latino Metrodoro, durante il VI secolo dopo Cristo, incluse nell’Antologia Greca. Tutti i quesiti corrispondono ad equazioni di primo grado ad un’incognita. Ecco il testo dell’indovinello. Questa tomba rinchiude Diofanto e, con grande meraviglia, dice matematicamente quanto ha vissuto. La sua giovinezza durò un sesto della sua vita; poi la sua barba iniziò a crescere dopo un dodicesimo; si sposò dopo un settimo e gli nacque un figlio dopo cinque anni. Il figlio visse la metà degli anni del padre e il padre morì quattro anni dopo il figlio. Quanti anni visse Diofanto?

Detta 𝑥 l’età di Diofanto, il problema si traduce nell’equazione

1 6 𝑥 + 1 12 𝑥 + 1 7 𝑥 + 5 + 1 2 𝑥 + 4 = 𝑥 → 𝑥 = 84 .

Se l’epitaffio corrisponde a verità, Diofanto morì all’età di ottantaquattro anni.

Un altro indovinello di tipo diofanteo è stato proposto, qualche anno fa, quale test di ingresso agli studi universitari tecnico-scientifici. Ecco il testo. Fra tre anni Matteo avrà il doppio dell’età che Sara aveva tre anni fa, mentre ora il quadruplo degli anni di lui è pari al quintuplo degli anni di lei. Se è possibile determinarlo, qual è l’età di Matteo e di Sara? Si indichi con 𝑥 l’età di Matteo e con 𝑦 quella di Sara. Per determinare queste due incognite intere, è sufficiente impostare un sistema lineare di equazioni, utilizzando le due condizioni imposte dal testo dell’indovinello. Precisamente, l’affermazione contenuta nel testo fra tre anni Matteo avrà il doppio dell’età che Sara aveva tre anni fa, in termini analitici, si trasforma nell’equazione 𝑥 + 3 = 2(𝑦 − 3) → 𝑥 − 2𝑦 = −9. Similmente, l’affermazione ora il quadruplo degli anni di lui è pari al quintuplo degli anni di lei, diventa 4𝑥 − 5𝑦 = 0. Mettendole insieme, risulta il sistema di due equazioni lineari [𝑥 − 2𝑦 = −9 , 4𝑥 − 5𝑦 = 0] , la cui soluzione costituisce l’obiettivo dell’esempio. Prima però di risolverlo, è opportuno verificare che esso ammetta un’unica soluzione, per cui è necessario verificare che il determinante | 1 −2 4 −5| = 3 ≠ 0 sia diverso da zero. Si ottiene allora che

𝑥 = 15,  𝑦 = 12,

cioè Matteo ha quindici anni e Sara ne ha dodici. La figura che segue illustra in maniera grafica l’intersezione tra le due rette 𝑦 =( 𝑥 + 9)/2 (blu), 𝑦 = 4/5𝑥 (rossa), cioè la soluzione grafica dell’indovinello: l’asse delle ascisse rappresenta l’età di Matteo, quello delle ordinate indica invece l’età di Sara, e il punto 𝑃 è la soluzione del problema.