Primi additivi e moltiplicativi

In passato ho dedicato parte del mio tempo a scoprire nuove sequenze matematiche. Una sequenza e’ una stringa ordinata finita o infinita di numeri.

Come vedete parlo di scoperta e non di invenzione. Questo perche’ sono convinto che la matematica esista indipendentemente dall’uomo. La matematica pervade il nostro universo ed e’ alla base delle equazioni fisiche che lo regolano. E queste esistevano gia’ molto prima che comparisse l’uomo visto che erano a lavoro gia’ al momento del Big bang senza che nessun uomo le pensasse o le elaborasse. La matematica quindi esiste per se stessa e non perche’ creata dalla mente dell’uomo. So che esitono matematici e scienziati che la pensano diversamente ma questo e’ il mio personalissimo pensiero.

Ok, ma come si fa a capire se una sequenza scoperta e’ veramente nuova, interessante ed utile da un punto di vista matematico? Semplicemente digitando i primi termini della sequenza sul sito di N. J. A. Sloane “The on-line encyclopedia of integer sequences”. Se la sequenza c’e’ allora non siete stati voi a scoprirla per primi. Negli anni passati di sequenze ne ho scoperte circa un trecento (tutte inserite nell’Enciclopedia di Sloane)  e oggi voglio parlarvi di alcune di esse a cui sono particolarmente affezionato. Inizio col chiedervi cosa lega,  secondo voi,  questi numeri:

2, 3, 5, 7, 11, 23, 29, 41, 43, 47, 61, 67, 83, 89, 101, 113

Da un rapido sguardo sembra che tutti i termini ad eccezione del primo siano dispari. Inoltre nessun numero ha 5 come ultima cifra. Questo esclude, quindi i numeri divisibili per 5. Ma anche i multipli di 3 vanno esclusi essendo i  numeri presenti nella sequenza non divisibili per 3. Sembra che tutto punti ai numeri primi, cioe’ ai numeri divisibili per 1 e per se stessi solo. Eppure guardando attentamente manca il numero primo 13, 17, 19 per citarne solo alcuni. Quale e’ la proprieta’ condivisa da questa stringa di numeri che al momento ci sfugge? Semplicemente questa: numeri primi la cui somma delle cifre e’ ancora un numero primo. Per esempio 43 fa parte della sequenza in quanto 43 e’ un primo e lo e’ anche la somma delle sue cifre 4+3=7. Al contrario 13 non fa parte della sequenza in quanto 13 e’ un numero primo ma non lo e’ la somma delle sue cifre che da’ 4. A questo link un video youtube che parla dei primi additivi. Questo come appare la sequenza sul sito di Sloane. Link

Per chi non lo ricordasse, i numeri primi sono gli atomi della matematica. Cosi’ come tutto quello che ci circonda e’ fatto di atomi, cosi i numeri naturali sono il prodotto univoco di numeri primi. Il terorema fondamentale dell’aritmertica, infatti stabilisce che ogni numero naturale maggiore di 1 o e’ un numero primo o si puo’ esprimere come prodotto di numeri primi. Tale rappresentazione e’ unica, se si prescinde dall’ordine in cui compaiono i fattori. Facciamo un esempio. Il numero intero 10 e’ dato dal prodotto dei due numeri primi 2 e 5. Il numero 15 dal prodotto di 3 e 5. 20 dal prodotto 2*2*5 e cosi via. Questo significa che e’ possibile ottenere tutti i numeri che conosciamo a partire da un suo sottoinsieme: i numeri primi. I numeri naturali sono infiniti. Qualsiasi numero venga in mente per quanto grande che sia, puo’ essere sempre superato dallo stesso numero piu’ 1. Da qui si capisce facilmente che i numeri naturali sono infiniti. Cosa possiamo dire invece per i numeri primi? Si ritiene che la risposta sia stata data dal matematico greco Eulero nei suoi Elementi (Libro IX proposizione 20) che stabili’ in modo rigoroso che il numero dei primi e’ infinito. E cosa succede per i primi additivi? Sono meno dei numeri primi e questo e’ ovvio essendo un loro sottoinsieme. Ma il loro numero e’ finito o infinito? E quanti primi additivi ci sono se cambiamo la base passando per esempio da base 10 a base 2, 3, 12 ecc.? Nel 2009 Drmota, Maduit e Rivat hanno dimostrato che il numero di primi minori di n con somma delle cifre in base b uguale a k tende, se b-1 e k non hanno divisori comuni, a:

dove Π(n) indica il numero di primi fino a n e ϕ(b-1) e’ la funzione di Eulero, cioe’ il numero di interi positivi minori di b-1 che non hanno divisori in comune con b-1. Questo significa che per numeri n, molto grandi e’ possibile trovare un numero molto grande di primi (tendente all’infinito)  la cui somma delle cifre k e’ essa stessa un numero primo.

Nel 2012 Glyn Harman (Link) ha dimostrato che, se e’ vera una congettura sulla distribuzione dei numeri primi in piccoli intervalli, la somma dei reciproci dei primi additivi minori di n in base 10 tende a:

3/2(ln(ln(ln(n)))    per n tendente all’infinito

Qui l’andamento della somma dei reciproci dei primi additivi.

Quindi il numero di primi additivi e’ infinito.

La congettura stabilisce che esista una funzione f(x) che tende a zero al crescere di x, tale che il numero di primi nell’intervallo [x, x+sqrt(x)f(x)] tenda a (sqrt(x)f(x))/ln(x). Sebbene assolutamente plausibile questa congettura e’ piu’ forte della stessa congettura di Riemann.

Dalla sequenza dei primi additivi a quella dei primi la cui somma delle cifre e’ un numero pari o un  numero dispari il salto e’ breve.

2,11,13,17,19,31,37,53,59,71,73,79,97,101,103,...

3,5,7,23,29,41,43,47,61,67,83,89,113,131,137,...

Queste due sequenze in media hanno lo stesso numero di elementi? Nessuno ha saputo rispondere fino a che nel 1968, il matematico russo Alexander Gelfond ipotizzo’ di si. Ma si trattava di una congettura e non di una dimostrazione. Per ottenere quest’ultima si e’ dovuto aspettare il 2010 quando alcuni ricercatori dell’Istituto di Matematica di Luminy (Francia) hanno pubblicato un  articolo negli Annals of Mathematics dal titolo Sur un probleme de Gelfond: la somme des chiffres des nombres premiere.

Il metodo impiegato ha le sua fondamenta nella matematica combinatoria, la teoria analitica dei numeri e l’analisi armonica. Di sicuro questa scoperta permettera’ di rispondere ad altre questioni relative alle sequenze dei numeri primi ancora aperte. Questioni che oltre all’interesse puramente teorico sono legate alla costruzione di sequenze di numeri pseudo-randomici ed hanno importanti applicazioni nella crittografia.  

Dopo i primi additivi il passaggio a quelli che ho chiamato primi moltiplicativi e’ stato semplice. La sequenza e’ costituita da quei numeri primi il cui prodotto delle cifre e’ anch’esso un numero primo. Per esempio 113 fa parte della sequenza in quanto 1*1*3=3 che e’ primo (link).

 

 Osserviamo che il prodotto di un qualsiasi numero di cifre in base 10 (0,1,2,3,4….9) escludendo lo 0 e’ un numero composto (prodotto di piu’ fattori) a meno che non abbiamo una cifra prima e tanti 1.   

1*3*4*7=84                      ovviamente non e’ primo essendo il prodotto dei fattori  3*2*2*7

1*1*1*1*1*1*3*1=3    e’ un numero primo

Questa propieta’ e’ stata evidenziata nel 2014 da Jens Kruse Andersen un amante dei numeri primi e autore di un sito dal titolo Prime records.

Al momento non conosciamo molto su questi numeri, come anche su quelli ottenuti semplicemente dall’intersezione dei primi  additivi e moltiplicativi che riporto qui di seguito (link). 

  Chiunque in questi giorni di afa voglia divertirsi con questi numeri lo puo’ fare. E chissa’ che non possa scoprire qualche importante proprieta’ da meritarsi un posto nell’Enciclopedia di N. J. A. Sloane.

 In bocca al lupo.