La matematica e’ un invenzione o una scoperta dell’uomo?

Uno degli aspetti piu' affascinanti della matematica e' che molto spesso quelli che sembrano sviluppi fini a stessi (matematica pura), inaspettatamente trovano applicazione nel mondo fisico per spiegare i fenomeni naturali. Non a caso Einstein si chiedeva: "Come e' possibile che la matematica, un prodotto del pensiero umano indipendente dall'esperienza, riesca a spiegare cosi egregiamente la realta' fisica?".  Allo stesso modo lo scienziato premio nobel per la fisica, Eugene Wigner's, nel 1960 pubblico' un articolo dal titolo " L'irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali" dove citava diversi esempi: 

1. Le leggi di Newton. Wigner noto' che le leggi di Newton del moto coinvolgono nozioni astratte come per esempio la derivata seconda, semplice come concetto solo per i matematici e contrario al senso comune. Inoltre queste leggi sviluppate inizialmente per corpi in caduta libera sulla superficie terrestre, furono utilizzate negli anni successivi per spiegare tanti altri fenomeni come i moti planetari, sulla base di osservazioni molto esigue.
2. La meccanica quantistica. Il fisico Max Born per primo noto' che alcune regole di calcolo sviluppate ad hoc da Heisenberg erano formalmente identiche a quelle sulle matrici stabilite molti anni prima dai matematici. Piu' tardi questo formalismo matriciale fu applicato a situazioni, quali l'analisi degli atomi di idrogeno e di elio, e quindi ben oltre lo scopo della stima di Heinseberg, e ancora una volta i risultati furono accurati oltre ogni ragionevole aspettativa.
3. L'elettrodinamica quantistica (QED). Wigner noto' che questa teoria puramente matematica era in accordo perfetto con gli esperimenti con una precisione migliore di una parte su mille. In effetti egli fu molto modesto. Una recente applicazione della teoria QED per trovare il momento magnetico dell'elettrone ha ottenuto un valore di 1.001159652201 (piu' o meno 30 nelle ultime due cifre), confrontato a 1.001159652188 (piu' o meno 4 nelle ultime due cifre) e quindi con una precisione migliore di una parte su un miliardo. E' possibile mai che questa sia solo mera coincidenza?

Wigner chiuse il suo articolo affermando che:

« Il miracolo dell'appropriatezza del linguaggio della matematica per la formulazione delle leggi della fisica è un dono meraviglioso che noi non comprendiamo né meritiamo. Dovremmo esserne grati e sperare che esso rimarrà valido nelle ricerche future e che si estenderà, nel bene o nel male, a nostro piacimento, alle più ampie branche del sapere. »

  

"Una nuova prospettiva e' stata formulata di recente dall'astrofisico Mario Livio. In un articolo apparso questo mese sulla rivista americana Scientific American, egli ha cercato di dare una risposta alle due questioni: "la matematica e' un'invenzione o una scoperta?" e "cosa rende la matematica cosi potente da un punto di vista predittivo ed esplicativo?".

Livio e' convinto che la risposta alla prima questione sia ovvia: la matematica e' una fusione intricata di invenzioni e scoperte. La seconda questione e' piu' complessa. Sebbene non ci sia dubbio che la selezione degli argomenti su cui lavorare scelti dai matematici siano stati fondamentali da un punto di vista dell'efficacia della matematica, questi principi matematici non avrebbero potuto funzionare senza verita' universali da scoprire.
Ci sono due facce per "l'irragionevole efficacia" della matematica: una e' quella che Livio chiama attiva e un'altra quella passiva. La faccia attiva si riferisce a quelle situazioni in cui gli scienziati cercano di fare luce nei labirinti dei fenomeni naturali usando la matematica come torcia elettrica. In altre parole, di sicuro alcune leggi della natura sono formulate in termini matematici. Le entita' matematiche, funzioni, equazioni usate in queste leggi vengono sviluppate ad hoc per queste specifiche applicazioni. Newton, per esempio, sviluppo' la branca della matematica chiamata calcolo infinitesimale perche' aveva bisogno di essa per le sue equazioni del moto. Allo stesso modo, oggi i teorici delle stringhe stanno sviluppando tutta una nuova matematica per le loro necessita'. L'efficacia passiva d'altro canto, si riferisce ai casi in cui delle teorie matematiche astratte sviluppate indipendentemente da eventuali applicazioni finali, solo dopo decenni o addirittura centinaia di anni sono state scoperte avere un ruolo fondamentale nella spiegazioni di fenomeni fisici. C'e' una continua interazione tra l'efficacia passiva ed attiva. Mostriamo un esempio.

 I nodi sono diventati un soggetto di investigazione scientifica serio solo quando nel 1860 Lord Kelvin propose un modello di atomo fatto da tubi annodati di etere. Allo scopo di sviluppare qualche cosa di simile alla nostra tavola periodica degli elementi, lord Kelvin dovette classificare i vari tipi di nodi, cioe' trovare quanti tipi differenti di nodi esistono. Questa necessita' fece nascere un grande interesse per la matematica dei nodi, oggi conosciuta come teoria dei nodi. Questo e' un perfetto esempio di quello che Livio chiama l'aspetto attivo dell'efficacia della matematica. I fisici e matematici del tempo, infatti, credendo che i nodi fossero un possibile modello degli atomi si lanciarono in un entusiastico studio della teoria dei nodi.

Un nodo matematico e' molto simile a quello che conosciamo noi per esempio, quando annodiamo uno spago. L'unica differenza e' che i nodi matematici hanno le estremita' congiunte. Uno degli obiettivi principali della teoria dei nodi e' stato sempre quello di voler identificare le proprieta' che distinguono i vari tipi di nodi, cioe' trovare quello che i matematici chiamano i nodi invarianti. Un nodo invariante agisce come un'impronta digitale del nodo; esso non cambia quando sottoposto a deformazione superficiale (vedi immagine seguente).

Solo dopo circa 100 anni dalla nascita della teoria dei nodi, il matematico Vaughan Jones ha trovato un rapporto inaspettato tra i nodi e un altro ramo della matematica astratta, noto come algebre di von Neumann. Cio' ha portato alla scoperta di un invariante denominato polinomio di Jones. Questo polinomio permette di distinguere, per esempio, i nodi e le loro immagini speculari dove invece le teorie precedenti fallivano. In seguito a questa scoperta c'e' stata una sconcertante varieta' di settori in matematica e fisica che hanno mostrato degli impressionanti collegamenti, non ultima la teoria delle stringhe una delle poche teorie che sembra poter conciliare la relativita' generale con la meccanica quantistica. I teorici delle stringhe, Hirosi Ooguri e Cumrun Vafa hanno scoperto che il numero di strutture topologiche che si formano quando interagiscono tra loro molte stringhe e' legato proprio al polinomio di Jones. Inoltre, uno dei fisici delle stringhe piu' noto, Ed Witten, ha dimostrato che il polinomio di Jones offre nuove prospettive nella teoria quantistica dei campi, uno dei settori piu' importanti della fisica moderna. La lezione che emerge da questa breve storia e' notevole. All'inizio e' stata l'efficacia attiva della matematica ad entrare in gioco. I fisici avevano bisogno di un modello per l'atomo, e quando sembro' che i nodi potessero essere uno strumento adatto decollo' una teoria matematica dei nodi. Una volta che Bohr scopri un migliore modello matematico per descrivere l'atomo, i matematici comunque non abbandonarono la teoria dei nodi. Spinti semplicemente dalla loro curiosita', continuarono ad esplorare le proprieta' dei nodi per molti decenni. All'improvviso poi e' arrivata la sorprendente efficacia passiva della matematica. Inaspettatamente, il polinomio di Jones e la teoria dei nodi in generale, si e' rivelato avere delle ampie applicazioni nella teoria delle stringhe. Quello che rende questa storia ancora piu' sorprendente e' il seguente fatto. Quando lord Kelvin inizio' a studiare i nodi lo fece perche' cercava di modellizzare gli atomi, i mattoni fondamentali della materia. Seguendo il cerchio della storia, adesso la teoria dei nodi cerca di dare delle risposte nella teoria delle stringhe, una delle ultime teorie fisiche che tenta di spiegare i costituenti ultimi della materia. Quindi la teoria dei nodi emersa da un tentativo di spiegare la realta' fisica, per anni rimasta intrappolata nel regno astratto della matematica pura e' ritornata di nuovo alla sua origine ancestrale. Tutto questo non e' assolutamente incredibile?   

Livio chiude il suo articolo chiedendosi:

"Perche' esistono delle leggi universali ? O ugualmente: Perche' il nostro universo e' governato da certe simmetrie? Io davvero non conosco le risposte, anche se va notato che forse in un universo senza queste proprieta', la complessita' e la vita non sarebbero mai emerse, e noi non saremmo qui a porci queste domande."  

 

 

Approfondimenti

• Max Jammer, Einstein and Religion, Princeton University Press, 1921.
  
• Mario Livio, "Why Math Works," Scientific American, Aug 2011, pg. 82-83.
  
• Eugene Wigner, "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences," in Communications in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, No. 1 (Feb 1960), John Wiley and Sons, New York.
  
• Felice Russo, L'Universo dei numeri, I numeri dell'universo, Aracne editrice, 2011
  

I numeri primi circolari

Vorrei iniziare questa mia nuova esperienza come “blogger” con un argomento di teoria dei numeri riguardante i numeri primi, gli atomi fondamentali dei numeri naturali. Ricordo che un numero e’ primo se e’ divisibile per 1 e per se stesso. L’uno non e’ considerato un numero primo.

Siete pronti?  Si parte!

Consideriamo un numero in base decimale con k cifre:

e supponiamo che esista un operatore matematico R che fa ruotare le cifre di questo numero in senso orario, cioè:

Con k cifre il numero massimo di differenti numeri che si possono generare è uguale a k. Qui di seguito un esempio per un numero con 3 cifre.

123   312   231  123

Osserviamo che se un numero ha la stessa cifra ripetuta più volte esso rimane lo stesso ad ogni applicazione dell’operatore R, cioè il numero è invariante rispetto a R. Un esempio è il numero 111.

Fin qui nulla di eclatante. Le cose si fanno più interessanti se invece di considerare dei numeri qualsiasi  fissiamo la nostra attenzione ai numeri primi.

Diciamo che un numero primo è circolare se rimane primo ad ogni rotazione ciclica delle sue cifre. Se un  numero primo contiene una cifra pari o uguale a 5, ovviamente, non può essere un primo circolare. I numeri primi circolari possono essere composti solo dalle cifre: 1, 3, 7, 9.  Qui di seguito un esempio per il numero primo   9311:

1193, 3119, 9311, 1931

Poiché i 4 numeri ottenuti sono tutti primi possiamo concludere che 9311 è un primo circolare.  Il più piccolo numero primo tra i quattro è chiamato primeval. In questo caso il primeval è il numero 1193. È possibile costruire una sequenza di tutti i numeri primeval, come mostrato di seguito:

2  3  5  7  11  13  17  37  79  113  197  199  337  1193  3779  11939 19937  193939  199933

dove con

è stato indicato un primo  repunit con n cifre. Si chiama repunit, un numero formato da tanti 1. Un repunit con n cifre può  essere rappresentato  con la seguente formula:

 Ritorniamo alla sequenza dei primeval notando che tutti i termini riportati sono gli unici conosciuti fino ad oggi.

Se escludiamo i repunit, una domanda cui oggi nessuno sa dare una risposta è la seguente: il numero di primeval è finito o infinito? È possibile, comunque,  fare delle congetture, cioè delle ipotesi ragionevoli ma che rimarranno tali fino a, quando qualcuno non le dimostrerà.
In un  mio articolo,  pubblicato sulla rivista Spectrum Vol. 32 nel 2000, ho mostrato che il numero di primi circolari con d cifre  può essere calcolato in  modo approssimato con la seguente formula:

Questa relazione converge rapidamente verso zero e quindi è lecito supporre che il numero di primi circolari sia finito. Ma è solo una congettura.

Nella Tabella sottostante è riportata la stima e il numero effettivo di primi circolari con d cifre ad oggi conosciuti.  

Cosa possiamo dire, invece, dei primi repunit?

Gli unici conosciuti ad oggi sono quelli con 2, 19, 23, 317 e 1031 cifre. Altri tre repunit, invece al momento sono solo dei primi probabili in quanto ancora non hanno passato tutti i test di primalità. Questi numeri hanno  49081, 86453, 109297 e 270343 cifre. Immaginate che file di 1. Notare che tutti i repunit primi hanno un numero di cifre che è anche esso un numero primo.

Anche per i primi repunit, come per i circolari primi, è plausibile pensare che il loro numero sia finito. Ma è proprio cosi?

Al momento nessuno lo sa. Ma sono molti quelli che credono che essi siano infiniti. Per capire il perchè basta dare un’occhiata  al grafico qui sotto dove sull'asse delle x viene riportato il rango dei repunit e sull'asse delle y il logaritmo del logaritmo del repunit.

Qualcuno vuole cimentarsi nella ricerca di numeri primi circolari o dei repunit? Se si fatemi sapere cosa incontrerete nella grande prateria dei numeri primi.