I numeri primi circolari

Vorrei iniziare questa mia nuova esperienza come “blogger” con un argomento di teoria dei numeri riguardante i numeri primi, gli atomi fondamentali dei numeri naturali. Ricordo che un numero e’ primo se e’ divisibile per 1 e per se stesso. L’uno non e’ considerato un numero primo.

Siete pronti?  Si parte!

Consideriamo un numero in base decimale con k cifre:

e supponiamo che esista un operatore matematico R che fa ruotare le cifre di questo numero in senso orario, cioè:

Con k cifre il numero massimo di differenti numeri che si possono generare è uguale a k. Qui di seguito un esempio per un numero con 3 cifre.

123   312   231  123

Osserviamo che se un numero ha la stessa cifra ripetuta più volte esso rimane lo stesso ad ogni applicazione dell’operatore R, cioè il numero è invariante rispetto a R. Un esempio è il numero 111.

Fin qui nulla di eclatante. Le cose si fanno più interessanti se invece di considerare dei numeri qualsiasi  fissiamo la nostra attenzione ai numeri primi.

Diciamo che un numero primo è circolare se rimane primo ad ogni rotazione ciclica delle sue cifre. Se un  numero primo contiene una cifra pari o uguale a 5, ovviamente, non può essere un primo circolare. I numeri primi circolari possono essere composti solo dalle cifre: 1, 3, 7, 9.  Qui di seguito un esempio per il numero primo   9311:

1193, 3119, 9311, 1931

Poiché i 4 numeri ottenuti sono tutti primi possiamo concludere che 9311 è un primo circolare.  Il più piccolo numero primo tra i quattro è chiamato primeval. In questo caso il primeval è il numero 1193. È possibile costruire una sequenza di tutti i numeri primeval, come mostrato di seguito:

2  3  5  7  11  13  17  37  79  113  197  199  337  1193  3779  11939 19937  193939  199933

dove con

è stato indicato un primo  repunit con n cifre. Si chiama repunit, un numero formato da tanti 1. Un repunit con n cifre può  essere rappresentato  con la seguente formula:

 Ritorniamo alla sequenza dei primeval notando che tutti i termini riportati sono gli unici conosciuti fino ad oggi.

Se escludiamo i repunit, una domanda cui oggi nessuno sa dare una risposta è la seguente: il numero di primeval è finito o infinito? È possibile, comunque,  fare delle congetture, cioè delle ipotesi ragionevoli ma che rimarranno tali fino a, quando qualcuno non le dimostrerà.
In un  mio articolo,  pubblicato sulla rivista Spectrum Vol. 32 nel 2000, ho mostrato che il numero di primi circolari con d cifre  può essere calcolato in  modo approssimato con la seguente formula:

Questa relazione converge rapidamente verso zero e quindi è lecito supporre che il numero di primi circolari sia finito. Ma è solo una congettura.

Nella Tabella sottostante è riportata la stima e il numero effettivo di primi circolari con d cifre ad oggi conosciuti.  

Cosa possiamo dire, invece, dei primi repunit?

Gli unici conosciuti ad oggi sono quelli con 2, 19, 23, 317 e 1031 cifre. Altri tre repunit, invece al momento sono solo dei primi probabili in quanto ancora non hanno passato tutti i test di primalità. Questi numeri hanno  49081, 86453, 109297 e 270343 cifre. Immaginate che file di 1. Notare che tutti i repunit primi hanno un numero di cifre che è anche esso un numero primo.

Anche per i primi repunit, come per i circolari primi, è plausibile pensare che il loro numero sia finito. Ma è proprio cosi?

Al momento nessuno lo sa. Ma sono molti quelli che credono che essi siano infiniti. Per capire il perchè basta dare un’occhiata  al grafico qui sotto dove sull'asse delle x viene riportato il rango dei repunit e sull'asse delle y il logaritmo del logaritmo del repunit.

Qualcuno vuole cimentarsi nella ricerca di numeri primi circolari o dei repunit? Se si fatemi sapere cosa incontrerete nella grande prateria dei numeri primi.