Perché l’evoluzione porta i sistemi all’edge del caos?

 

Tutti i sistemi viventi si sono evoluti per raggiungere   stati di enorme ordine e complessita’. E’ possibile che la selezione naturale da sola possa spiegare tutto cio’ ? Probabilmente no. Soprattutto se pensiamo all’innata tendenza di tutti i sistemi adattativi a muoversi verso stati di auto-organizzazione e quindi di massimo ordine. Tutti i sistemi complessi compresi quelli biologici prosperano al cosiddetto “edge of chaos” dove le forze evoluzionistiche operano. L’auto-organizzazione e’ una caratteristica peculiare di qualsiasi sistema complesso aperto e lontano dall’equilibrio. Come sottolinea lo scienziato Stuart Kauffman, e’ su quest'ordine che opera la selezione naturale di Darwin adattandolo all’ambiente. In altre parole la selezione naturale non e’ la sola sorgente dell’ordine in biologia. I sistemi complessi adattativi hanno la proprietà fondamentale di auto-organizzarsi in stati sempre più ordinati finche’ hanno la capacità di scambiare materia ed energia con l’ambiente circostante. La selezione naturale sfrutta il già pre-esistente ordine dei sistemi complessi per far si che una popolazione si adatti alle condizioni ambientali. Il comportamento a lungo termine dei sistemi dinamici può essere classificato in due regimi diversi: quello ordinato e quello caotico. La differenza principale tra i due regimi consiste nel fatto che partendo da due punti molto vicini, nel caso del sistema ordinato, questi punti rimarranno sempre molto prossimi tra loro al trascorrere del tempo mentre per il caso caotico anche due punti molto vicini all’inizio divergeranno sempre di più col trascorrere del tempo. Nonostante questa differenza i due sistemi hanno una proprietà in comune: entrambi arrivano nel loro stato finale molto velocemente e li rimangono intrappolati per sempre. In altre parole entrambi mostrano dei transienti finiti. Ciò però non e’ profittevole da un punto di vista evoluzionistico, dove l’eterna ricerca di nuove forme e’ imperativa. Ecco perché’ i sistemi dinamici evoluzionari tendono a stabilirsi al confine tra l’ordine e il disordine nel loro spazio delle fasi. In questo stato i fenomeni transienti sono eterni, e il sistema quindi non raggiunge mai il suo destino finale, preservando la diversità, cioè la possibilità di esplorare altre regioni dello spazio degli stati e non solo la piccola regione occupata dal suo attrattore finale.

Cerchiamo di capire meglio questi concetti ricorrendo a un esempio. Consideriamo un sistema dinamico regolato dalla seguente formula chiamata mappa logistica:

x_t+1=a·x_t(1-x_t)

dove x_t e’ la variabile dinamica (cioè che dipende dal tempo t) che descrive il sistema e x_o il sua valore iniziale. L’orologio interno di questo sistema scorre in modo discreto. Il parametro di controllo a e’ mantenuto costante durante l’evoluzione temporale del sistema. Questa mappa e’ stata introdotta quasi un secolo e mezzo fa per modellizzare la crescita delle popolazioni, dove a rappresenta il tasso di nascita per ogni generazione.

Supponiamo per questione di semplicita’ che 0<x_o<1 e che 0<a<4. Questo forza la variabile dinamica del sistema a essere compresa tra 0 e 1.

La mappa logistica e’ molto semplice da programmare, e quindi facilmente si possono ammirare le diverse dinamiche che essa genera modificando il suo parametro di controllo a.

La prima osservazione che si può fare e’ che per a<1, il valore di x_t tende a zero per tempi t molto lunghi. Al contrario, x_t raggiunge un valore diverso da zero stabile se 1<a<3. C’è un punto di transizione tra l’estinzione e la stabilità in corrispondenza di a=ao=1. In entrambi i casi, estinzione o stabilità, l’attrattore (cioè il destino finale del sistema) e’ un singolo punto fisso x*=0 per a<1 o x*=1-1/a per 1<a<3. Il tempo di transizione corrisponde al numero di iterazioni necessarie per arrivare ad x* partendo da x_o. Più il parametro di controllo e’ vicino al valore critico a_o=1 e maggiore sarà il tempo di transizione. Per valori di a prossimi ad 1 il sistema evolve secondo una funzione con decadimento esponenziale:

x_t-x*~e^-|a-1|t

In questo caso il tempo di transizione e’ dato da:

tau=1/|a-1|

e dipende solo dal valore del parametro a. In generale qualsiasi sistema che obbedisce a una legge di decadimento esponenziale, ha un tempo caratteristico ben definito che rappresenta la sua scala naturale, durante la quale si presentano tutti i fenomeni più importanti. In altre parole, tau misura la vita media del sistema nel senso che dopo questo tempo cessano tutte le attività.

La situazione e’ completamente diversa per a=1, cioè quando la mappa logistica e’ in una situazione critica. In questo caso vale la relazione:

x_t-x*~t^-1

dove adesso al posto dell’andamento esponenziale abbiamo una funzione di potenza. Questo comporta un tempo di transizione infinito, e quindi tutte le scale temporali sono importanti. Tra tutti i valori di a nell’intervallo 0-3, il valore a=1 rappresenta il transiente eterno. Questa caratteristica matematica e’ praticamente generale, cioè vera per tutti i sistemi dinamici, tanto da essere presa come definizione di criticità. In queste condizioni il sistema presenta una memoria a lungo termine nel senso che il suo stato corrente e’ la conseguenza di molte caratteristiche accumulate durante tutta la sua lunga storia.

Oltre al valore a=1, esistono altri punti critici. Il primo si presenta per a=3, oltre il quale l’attrattore non e’ più un punto fisso. Infatti, per 3<a<3.449 l’attrattore diventa un ciclo con periodo 2, cioè una sequenza di due stati che si alternano all’infinito. Il successivo punto critico si trova ad a=3.449, oltre il quale l’attrattore diventa un ciclo di periodo 4 e cosi via. In effetti, c’è una cascata di punti critici a₀, a₁, a₂, ... e ad ognuno di essi c’è un raddoppiamento di periodo. Questa cascata finisce ad a_∞ =3.570, dove comincia il comportamento caotico del sistema. Ad ogni modo anche all’interno della regione caotica tra 3.570 e 4, appare di nuovo qualche finestra di ordine subito dopo il punto critico a₃~3.828. Si tratta di un ciclo con periodo 3. In definitiva ci sono una serie di transizioni da una specie di attrattore ad un altro (punto fisso, cicli periodici, attrattori caotici, cicli periodici dispari, attrattori caotici di nuovo e così via…). Il sistema può diventare critico solo nei punti di transizione a₀, a₁, a₂, ..., mentre tra di essi il sistema presenta un decadimento esponenziale, cioè un transiente finito. Questo implica che anche il regime caotico non e’ critico da un punto di vista della memoria, poiché l’attrattore corrispondente è raggiunto in tempi esponenzialmente corti. Nel nostro caso, comunque, non siamo tanto interessati a classificare i sistemi in ordinati o caotici, quanto a distinguere transienti temporali finiti da quelli infiniti. Per la mappa logistica risulta ormai chiaro che solo in corrispondenza dei punti critici il sistema mostra una memoria a lungo termine, mentre per tutti gli altri valori del parametro di controllo a, indipendentemente dal regime (ordinato o caotico), il sistema mostra una memoria corta.

Diagramma della mappa logistica.

Un altro aspetto importante da sottolineare e’ la chiusura del sistema. Se un sistema dinamico e’ chiuso, questo significa che anche il tempo e’ limitato e quindi i transienti cesseranno rapidamente e ciò e’ contro l’evidenza essendo l’evoluzione, un processo eterno, senza fine. Questo implica che affinché’ ci sia evoluzione i sistemi dinamici devono essere aperti e rifornirsi continuamente di cibo, energia, informazione, calore, massa etc. Una volta processate queste entità, il sistema getta via il rimanente; da questo punto di vista il sistema e’ dissipativo.

Questo significa che tali sistemi dissipativi, devono avere una dinamica che evolve verso qualche attrattore rimanendo intrappolati su di esso in modo irreversibile.

Da un punto di vista dell’evoluzione però, questa dinamica non e’ conveniente. Infatti, una volta che il sistema e’ intrappolato in un piccolo volume dello spazio degli stati (l’attrattore appunto), la probabilità di esplorare nuovi stati (per cercare forme migliori di quella attuale) e’ praticamente nulla.

D’altra parte, l’evoluzione all’interno di un sistema chiuso non può essere descritta da una dinamica non dissipativa, anche se teoricamente ciò risolverebbe il problema della visita di tutti gli stati possibili da parte del sistema.

Come fa la Natura a risolvere questo puzzle?

La strategia e’ molto semplice. Adottare una dinamica critica, cioè evitare il minuscolo attrattore fornito dalla dinamica dissipativa, ed evolvere in un transiente infinito. Il sistema evoluzionistico, sintonizza naturalmente i suoi parametri interni in modo da rimanere sempre in un punto critico. Il minuscolo attrattore può essere interpretato come la migliore forma attuale del sistema. Poiché’ la selezione naturale ha bisogno della diversità per ottenere le migliori forme possibili e’ necessario uno spazio maggiore di quello occupato dall’attrattore. E questo e’ quello che fa una dinamica critica. Il sistema rimane sempre molto vicino all’attrattore che rappresenta la migliore forma attuale, ma non e’ mai intrappolato in esso. In questo modo, qualsiasi modifica dell’ambiente esterno costringe il sistema ad adattarsi in una nuova posizione di equilibrio che si troverà con alta probabilità nell’intorno dell’attrattore, tenuta in vita dal sistema insieme alla prima forma “ottimale”.

La dinamica in un punto critico quindi, fornisce il grado di diversità di cui la selezione naturale ha bisogno. Se il processo dinamico non e’ critico, non c’è diversità, il che significa nessuna selezione e quindi nessuna evoluzione.

In definitiva, i sistemi evoluzionari si spostano verso i punti critici (l’edge del caos), poiché in tutte, gli altri stati (regime ordinato o caotico) sarebbero rapidamente intrappolati in minuscoli attrattori, perdendo cosi la diversità non dando la possibilità alla selezione naturale di fare il suo lavoro.

Un sistema complesso non può essere definito con precisione; esso si può trovare soltanto collocato tra l’ordine e il disordine, in uno stato di criticità auto-organizzata (SOC); non è né ‘prevedibile e regolare (come la struttura rigida e statica delle molecole in un cristallo), ne’ casuale e caotico (come le molecole di un gas). Un sistema complesso, infatti, mostra caratteristiche intermedie essendo talvolta prevedibile per certi aspetti (a livello locale) e sorprendentemente imprevedibile per altri (a livello globale). Questa posizione intermedia, in equilibrio tra “rigidità” e “turbolenza” è quella che si definisce il confine del caos. Nei sistemi che si auto-organizzano in uno stato di criticità, l’azione di ciascun singolo elemento può influenzare qualunque altro e qualsiasi cambiamento a livello locale, anche piccolo, può potenzialmente avere ripercussioni catastrofiche sull’intero sistema (come si verifica ad esempio con l’aggiunta di un singolo granello su una pila di sabbia; Bak, 1996). Il sistema allo stato critico è un'unità funzionale le cui proprietà emergenti non possono essere studiate andando ad analizzare i singoli elementi che lo compongono perché la sua complessità è maggiore della somma delle complessità dei sui elementi costitutivi.

La struttura di un sistema complesso derivante dall’auto-organizzazione è ben rappresentata dall’immagine di una rete, dove ciascun'unità fondamentale è un nodo e le interazioni instaurate sono i collegamenti della rete stessa. La distribuzione dei collegamenti tra i nodi tende a seguire una legge di potenza: ci sono molti nodi con pochi collegamenti e solo pochi nodi con molti collegamenti. Poiché un sistema SOC si auto-organizza in una struttura più complessa della somma delle sue parti, mostra una serie di proprietà, dette “emergenti”, che non possono essere ridotte alla mera addizione delle proprietà individuali dei suoi singoli costituenti. Ad esempio, una cellula è vivente pur essendo composta da molecole inanimate e l’oro appare lucente, giallo e malleabile, benché gli atomi che lo compongono presi singolarmente non mostrino tali qualità. Quindi, pur conoscendo tutti gli elementi del sistema e le loro interazioni, le proprietà collettive del sistema auto-organizzato sono di fatto imprevedibili, maggiori e diverse dalle proprietà individuali dei suoi costituenti.

Un  esempio di sistema  auto-organizzato è rappresentato da un branco di pesci che appare come un’entità unica grazie allo spostamento armonioso e ben coordinato dei singoli individui che ne fanno parte, senza la necessità di un leader che lo guidi. Ancora una volta tra gli elementi del sistema agenti s'instaurano interazioni non-lineari responsabili del pattern globale. L’interazione da un lato consente ai pesci di organizzarsi in gruppo, essendo ciascun individuo attratto dagli altri poiché in un banco diminuisce il rischio di essere predato, mentre dall’altro di mantenere per ciascun individuo la corretta spaziatura all’interno del banco, ovvero la giusta distanza dai suoi vicini evitando così rischiose collisioni. Ciascun pesce si limita a seguire delle semplici regole (mantenere la corretta distanza dai suoi compagni più vicini) senza dover conoscere la traiettoria e la velocità del banco: in questo modo l’auto-organizzazione di gruppo e un pattern complesso si realizzano a partire da semplici regole comportamentali eseguite a livello locale dai singoli agenti del sistema.

Un altro esempio di sistema biologico complesso e auto-organizzato e’ il nostro cervello; un numero sempre maggiore di ricercatori ritiene che esso si trovi al confine tra l’ordine e il caos, uno stato nello spazio delle fasi che lo rende robusto e flessibile al tempo stesso. Nello stato critico il cervello si può permettere il più grande insieme di azioni utili per la sua sopravvivenza con il minimo numero di aree coinvolte nel generare queste azioni. Il cervello si troverebbe in uno stato critico semplicemente perché’ il mondo in cui esso deve sopravvivere e’ critico

Secondo il punto di vista di Darwin, il cervello va considerato come integrato nel resto della Natura e in co-evoluzione con essa secondo le regole della selezione naturale. Quindi se il mondo fosse sotto-critico allora tutto sarebbe semplice e uniforme e non ci sarebbe nulla da imparare; il cervello sarebbe un qualche cosa di superfluo. Se, invece, il mondo fosse super-critico, tutto cambierebbe continuamente non permettendo al cervello di imparare. Quindi in entrambi gli estremi, un cervello non avrebbe avuto nessuna probabilità di sopravvivere. Da qui deriva la necessità di essere al confine tra l’ordine e il caos.

In un mondo critico, le cose spesso sono le stesse, ma c’è sempre spazio per la sorpresa. Esattamente come per le leggi di potenza, c’è sempre un qualche evento improbabile che ci può riservare delle sorprese.

 

http://arxiv.org/pdf/1012.2242v1.pdf

http://www.amazon.co.uk/Complexity-Life-at-Edge-Chaos/dp/0226476553

http://necsi.edu/events/iccs7/papers/e24fb842408f0a352e61eab19761.pdf

Terremoti nel cervello. Legge di potenza per l’epilessia.

 

Verso la fine degli anni ottanta, il neurologo Ivan Osorio

dopo anni di ricerca, si rese conto che non si poteva  capire a fondo cosa determinasse nel cervello l’aumento improvviso dell’attività elettrica conosciuta come attacco epilettico.

Cominciò così a guardarsi intorno, al di fuori del campo medico per cercare di trovare delle similitudini con altri fenomeni. Fu cosi che scoprì per caso la forte somiglianza tra gli attacchi epilettici e i terremoti e subito iniziò a studiare le leggi che regolano quest’ultimi per cercare di gettare nuova luce su cosa avviene nel cervello durante gli attacchi di epilessia. Questo collegamento fu trovato indirettamente, leggendo un articolo pubblicato da uno psicologo su Nature nel 1967, Graham Goddard, che aveva descritto un particolare fenomeno chiamato “kindling”.

Questo scienziato aveva scoperto che stimolando continuamente il cervello di alcuni ratti con impulsi di basso voltaggio, una volta che si innescava un attacco epilettico, c’era bisogno di una stimolazione elettrica minore rispetto alla precedente, per indurre un secondo attacco epilettico. Goddard chiamò questo fenomeno “kindling” in quanto gli ricordava quello che succede, quando si vuole accendere un gran fuoco e si parte con l’usare gradualmente sempre più ramoscelli. All’inizio c’è bisogno di tanti ramoscelli, ma poi quando il fuoco è andato, basta l’aggiunta di pochi ramoscelli per tenerlo acceso.

Si tratta di un fenomeno dove lentamente c’è un accumulo di energia che poi viene rilasciata istantaneamente. I vari impulsi elettrici creano piccoli attacchi epilettici, che accumulandosi pian piano portano poi ad una violenta scarica. Ricorrendo ad un’altra analogia, e’ come avere un mucchietto di sabbia dove  l’aggiunta di un unico granello, genera delle micro-valanghe (piccoli attacchi epilettici) e porta gradualmente il sistema in uno stato critico. A quel punto l’arrivo di un nuovo granello di sabbia può generare una valanga di grandi dimensioni (scarica epilettica violenta).

Nell’ambito dei sistemi complessi, questo rilascio improvviso di energia si chiama ‘rilassamento’. I tempi che intercorrono tra due eventi di rilassamento, in genere, sono molto lunghi, e la quantità di energia rilasciata è cosi grande che può avere delle conseguenze catastrofiche. In base a queste considerazioni è possibile considerare gli attacchi epilettici come degli eventi di rilassamento del cervello?

I sistemi complessi (come i terremoti, internet, i mercati finanziari ...) sembrano mostrare tutti la stessa legge di rilassamento. Ogni volta che all’interno di un sistema complesso, c’è un turbamento, una scossa, un evento estremo che sposta il sistema dal suo stato tipico, esso si rilassa seguendo una legge ben precisa: la legge di Omori.

Omori trovò la sua legge analizzando gli eventi sismici. Da allora in poi i ricercatori hanno verificato che tutti i sistemi complessi sembrano mostrare la stessa legge indipendentemente dal contesto. La legge è una legge di potenza con un andamento del tipo t^-α, dove t è il tempo trascorso rispetto all’evento catastrofico ed alfa una costante. Nel caso dei terremoti, per esempio, la legge di Omori stabilisce che il numero di eventi sismici dopo la scossa principale per unità di tempo, decresce nel tempo con legge di potenza. Questo significa che subito dopo la scossa principale ci sarà un numero elevato di scosse di minore intensità e che questo numero poi rapidamente decadrà andando a zero ma molto, molto lentamente. Ecco perchè anche dopo mesi da una prima scossa si hanno ancora eventi sismici significativi. Il sistema per ritornare al suo stato iniziale, cioè a quello esistente prima della scossa, impiega un tempo lunghissimo. Nella figura 1, viene mostrato il numero di scosse nel tempo per il terremoto che ha colpito l’Aquila il 6 Aprile del 2009. Si può vedere chiaramente l’andamento previsto da Omori (curva color fucsia) con un esponente pari a circa 0.4.

Figura 1 Legge di Omori per il terremoto dell’Aquila dell’Aprile 2009.

Figura 2 Legge analoga a quella di Omori per l’andamento della magnitudine massima giornaliera del terremoto dell’Aquila dell’Aprile 2009.

 

Nella figura 2, è riportata invece l’andamento giornaliero della massima magnitudo registrata. Anche in questo caso si può notare un andamento simile alla legge di Omori con un esponente pari a 0.185.

Ma ritorniamo adesso all’epilessia.

Osorio e il matematico dell’Università del Kansas, Mark Frei, avevano presentato la loro idea a diversi congressi, fino a, quando incontrarono il neurologo John Milton, che gli suggerì di confrontare gli attacchi epilettici ai sistemi complessi incluso i terremoti. L’idea era semplice: usare le leggi di un fenomeno per risolvere i misteri di un altro.

Lo stesso Milton favorì l’incontro di Frei e Osori con il geofisico Didier Sorniette, esperto di teoria delle catastrofi e dei sistemi complessi, per cercare di applicare i concetti fisici sviluppati in ambiti diversi, alle previsioni degli attacchi epilettici. Questo team di ricercatori ha eseguito un’analisi quantitativa, confrontando 16.032 casi di attacchi epilettici e 81.977 eventi sismici con magnitudo maggiore di 2.3. Gli attacchi epilettici sono stati definiti come il rapporto adimensionale dell’attività elettrica del cervello in una particolare banda di frequenze con un valore superiore a 22 ed una durata di almeno 0.84 secondi. Da questi dati, sono poi stati estratti due parametri caratteristici: l’energia E (intesa come il prodotto del picco dell’attacco epilettico per la sua durata) e l’intervallo di tempo tra due attacchi consecutivi. Per i terremoti, invece, è stato considerato il momento sismico definito come:

S~10^1.5M

dove M è la magnitudo del sisma. Nella figura 3 è riportato il confronto tra un segnale epilettico e quello di un sisma. Notare la forte somiglianza tra i due. Stessa cosa per la figura 4, dove viene riportata la distribuzione di probabilità (PDF) per l’energia nel caso degli attacchi epilettici e il momento sismico S dei terremoti. Per entrambi i sistemi, la probabilità che un evento abbia un’energia o un momento sismico maggiore di x è proporzionale a  x^-β  dove β~2/3.

Questa distribuzione si differenzia da quella Gaussiana per la presenza di una lunga coda a destra, che si riflette nella presenza di eventi estremi che accadono con una probabilità non trascurabile. Questi eventi estremi si trovano a diverse deviazioni standard dal valore medio predetto dalla distribuzione di Gauss. Queste proprietà sono anche riflesse nel fatto che distribuzioni di potenza illimitate con beta uguale a 2/3 hanno una media ed una varianza infinita.

Un risultato analogo è stato ottenuto per l’intervallo temporale tra due eventi successivi.

 

Figura 3 Confronto tra il segnale elettrico di un attacco epilettico (A) e quello di un terremoto (B). Notare la forte somiglianza.

 

Figura 4 Densità di probabilità del momento sismico e degli attacchi epilettici. Entrambe le statistiche sono compatibili con la stessa legge di potenza con esponente ̴ 2/3.

 

La figura 5, mostra come entrambe le densità di probabilità approssimativamente seguono una legge di potenza sebbene con una pendenza diversa.

Com’è possibile che questi sistemi operanti su scale spaziali e temporali completamente diverse, con processi alla base decisamente diversi, esibiscano tante somiglianze da un punto di vista statistico?

 

Figura 5 Densità di probabilità degli intervalli temporali tra due attacchi epilettici successivi (curva rossa) e tra due terremoti (curva blu).

 

Una possibile speculazione per tale somiglianza potrebbe venire dal fatto che entrambi questi sistemi sono formati da tanti elementi interagenti in competizione tra loro, e che la maggior parte di tali sistemi esibiscono un comportamento auto-organizzato con una statistica che segue una legge di potenza. In parole semplici, gli attacchi epilettici come i terremoti accadono quando l’attività del cervello o della crosta terrestre, visitano la parte destra della distribuzione dell’energia/magnitudo o allo stesso modo la parte sinistra della distribuzione degli intervalli temporali tra due attacchi epilettici o tra due scosse successive. Sia il cervello che la crosta terrestre possono essere simulati con un sistema di oscillatori non-lineari con dinamica instabile e un numero elevatissimo di interconnessioni con proprietà frattali o auto-somiglianti, che si ripetono attraverso una vasta gerarchia di scale spaziali. L’analisi dinamica di tali sistemi ha mostrato che essi si trovano al confine tra lo stato ordinato e quello caotico, come tanti altri sistemi complessi. Una caratteristica fondamentale dei sistemi complessi è proprio la capacità di visitare sia zone ordinate che quelle caotiche (pensate ad un’autostrada dove all’improvviso si forma un ingorgo senza alcun motivo apparente e senza nessun motivo scompare all’improvviso) facendo tesoro dell’esperienza accumulata (effetto memoria o feed-back). Per questi sistemi la somma è maggiore delle parti nel senso che il sistema come un tutt’uno riesce a mostrare comportamenti decisamente complessi che nessuna delle singole parti riuscirebbe a mostrare. È solo l’azione di gruppo, l’interazione tra la maggior parte degli elementi del sistema a far emergere un tale comportamento. La scienza della complessità contrariamente alla fisica riduzionista non cerca di dividere un sistema in parti più semplici da studiare ma cerca di analizzare il sistema come un unico “corpo” che vive ed interagisce con il mondo che lo circonda (sistema aperto da un punto di vista termodinamico). È molto probabile che tutti i sistemi complessi siano retti da leggi universali la cui comprensione potrebbe definitivamente gettare una nuova luce sul comportamento della natura e dell’Universo. Ancora una volta la matematica sembra essere l’unica chiave per aprire la serratura della Natura, e riuscire, così, a carpire il segreto ultimo delle cose.

 

Per approfondire:

http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0712/0712.3929.pdf

http://chaos1.la.asu.edu/~yclai/papers/PRE_010_OFSML.pdf