domenica 3 novembre 2013

Prevedere in anticipo i movimenti dei criminali grazie alla matematica

 

clip_image002Uno scopo per studiare il comportamento dei criminali e’ quello di riuscire a predire la prossima mossa analizzando i loro movimenti. Negli ultimi anni sono stati sviluppati diversi modelli matematici tra cui l’UCLA model (University of California, Los Angeles) o anche hotspot model. I crimini non mostrano una distribuzione uniforme ne’ a livello spaziale ne’ a livello temporale. Ci sono regioni che sembrano essere ragionevolmente sicure e altre che invece appaiono molto pericolose con tassi di atti criminali molto elevati. Sono questi aggregati (clusters) spazio-temporali che vengono chiamati “hotspot” e la cui evoluzione puo’ essere studiata a scale sempre piu’ piccole (migliore risoluzione sia spaziale che temporale) grazie ai continui miglioramenti della tecnologia delle mappe.

Sono state sviluppate diverse teorie per capire perché’ gli hotspots emergono in alcune zone piuttosto che in altre, come evolvono e come si legano al comportamento dei delinquenti, vittime, agenti delle forze dell’ordine e geografia locale. In generale, i crimini hanno luogo quando un delinquente incontra una vittima “adatta” o un’abitazione senza alcun impianto di sicurezza. In questo contesto, la struttura urbana puo’ giocare un ruolo importante forzando il movimento del delinquente e i potenziali obiettivi. Per esempio, la quantita’ di traffico, le proprieta’ abbandonate o vacanti, la densita’ di popolazione solo per citarne alcune possono influenzare il pattern dei crimini. Qui in basso il cambiamento degli hotspot relativi ai furti avvenuti nella citta’ di Long Beach in California nei mesi Giugno, Luglio e Agosto 2001 (sinistra) e nei mesi Settembre, Ottobre e Novembre 2001 a destra.

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In un articolo pubblicato sull’ultimo numero del SIAM Journal on Applied Mathematics, i matematici Sorathan Chaturapruek, Jonah Breslau, Daniel Yazdi, Theodore Kolokolnikov, e Scott McCalla hanno proposto una modifica del modello hotspot introducendo la distribuzione di Levy per i movimenti dei criminali da un posto all’altro. I criminali tendono a muoversi localmente ma ogni tanto fanno delle esplorazioni in aree lontane cosi come succede per molti animali quando vanno alla ricerca del cibo (vedi capitolo “La matematica della sopravvivenza” del mio libro). Questo comportamento replica molto da vicino il comportamento di tutti gli umani quando si muovono da una citta’ all’altra (pendolari).

Lo scopo principale di questo lavoro e’ stato lo studio dei dati riguardanti i furti nelle abitazioni per capire come i ladri scelgono i loro obiettivi e da qui cercare di inferire i movimenti dei criminali (Link). Il modello analizza la formazione dei punti caldi (hotspot) con alto tasso di atti criminali ricorrendo alla teoria della finestra rotta (Link) che prevede un’alta attivita’ criminale in aree che sono state gia’ interessate in precedenza da crimini. E’ piu’ facile che venga visitato un appartamento che ha gia’ subito un furto di recente che non un appartamento che non e’ mai stato scassinato. Stessa cosa per gli appartamenti vicini. Questo e’ quello che dicono i dati degli scassi a disposizione degli studiosi; una casa gia’ scassinata o vicina ad essa e’ piu’ “interessante” per diverse ragioni, quali la conoscenza di come entrare, le informazioni sugli oggetti di valore presenti, l’abilita’ di movimento e una maggiore confidenza a scappare via.

Il modello UCLA iniziale assumeva che i criminali si muovessero solo localmente seguendo un moto Browniano (o randomico). Ma con questa nuova pubblicazione gli studiosi si sono resi conto che un modello piu’ realistico deve permettere ai criminali delle “passeggiate” occasionali come previsto nei modelli di Levy.

Quest’ultimi sono una versione modificata del modello random walk dove la lunghezza di un particolare tragitto e’ un numero casule e la direzione di questo percorso e’ scelta anch’essa in modo del tutto casuale. Le passeggiate di Levy sono del tutto simili al moto randomico ad eccezione del fatto che la lunghezza dei percorsi viene scelta a partire da una distribuzione di probabilita’ (una power distribution) che permette di avere ogni tanto delle distanze percorse molto lunghe (vedi grafico sottostante dove l e’ la lunghezza in metri ed n la frequenza).

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L’uso del modello di Levy permette quindi una esplorazione piu’ efficiente di un territorio e questo spiega perche’ e’ stato incluso nel modello UCLA.

La distribuzione di Levy e’ data dalla seguente forma approssimata

P(l)~l-u

dove l indica la lunghezza del percorso e P la probabilita’. Il valore dell’esponente u controlla il tipo di movimento passando da uno completamente casuale per u>3 ad uno completamente balistico e che nel limite per u che tende ad 1 diventa una linea retta. Osserviamo che essendo la legge di Levy una legge di potenza, cio’ significa che e’ indipendente dalla scala usata (scale-free in inglese) e quindi alla sua base c’e’ una traiettoria con dimensioni frattale (ad ogni scala la forma dell’oggetto e’ sempre la stessa). Per la distribuzione riportata nel grafico precedente e relativa al volo delle api nella ricerca delle arnie a cui ritornare risulta una dimensione frattale di 1.2

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I lunghi tragitti o voli corrispondono alle lunghe distanze coperte all’interno di una grande citta’ molto probabilmente con i bus o la metropolitana o per muoversi da una citta’ all’altra. Questo permette ai criminali di spostarsi verso zone piu’ interessanti per i furti invece che rimanere confinati all’interno del proprio quartiere come succedeva nel modello iniziale. I dati disponibili sulle distanze tra le case dei criminali e quelle scassinate mostra chiaramente che i ladri sono disponibili a muoversi per lunghi tratti pur di ottenere un bottino piu’ remunerativo. Questa tendenza dei ladri mostra comunque delle differenze a seconda dei tipi di criminali. I professionisti e i criminali con esperienza riescono a coprire distanze sicuramente maggiori dei giovani dilettanti. Un gruppo di criminali professionisti che pianificano un colpo ad una banca, per esempio, ragionevolmente seguira’ una distribuzione di Levy. Gli studiosi hanno visto che il modello di Levy rispetto a quello che avevano utilizzato all’inizio gli aumenta il numero di reati; ma se il modello prevede troppe passeggiate di Levy allora esso puo’ diventare meno efficace di quello Browniano. Nel linguaggio statistico significa che c’e’ un esponente ottimale nella distribuzione di Levy che massimizza il numero di clusters (spot) di reati e questo valore fa si che la distribuzione di Levy sia molto vicino ad un moto Browniano.

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Distribuzione degli spot con maggiore tasso criminale per un modello Random walk sulla sinistra e sulla destra per un modello di Lévy.

Da un punto di visto matematico il modello usa un sistema di due equazioni differenziali parziali che definiscono la densita’ criminale (hotspot o cluster) e l’attrazione verso zone piu’ remunerative da un punto di vista del bottino. La prima equazione e’ locale mentre la seconda e’ non locale. I due ricercatori Kolokolnikov e McCalla spiegano che nei modelli oggi disponibili la locazione e la forma dei clusters con alto tasso di reati sono ben studiati e capiti mentre i movimenti dei criminali non sono monitorati e quindi non ben capiti. Nella nostra ricerca invece, continuano gli studiosi, abbiamo trovato una chiara relazione tra la dinamica dei clusters e come i criminali si muovono. Tali modelli possono aiutare a contrastare meglio i crimini. Spesso le forze dell’ordine di alcuni paesi si concentrano sul territorio dove abitano criminali conosciuti alla polizia per predire i futuri reati. Se la relazione tra il movimento dei ladri e la scelta degli obiettivi diventera’ piu’ chiara, allora la polizia potra’ schedulare meglio le ronde notturne per il controllo del territorio.

Uno dei risultati sorprendenti del modello UCLA e’ di sicuro l’aver dimostrato che i ladri possono ottenere dei grossi benefici semplicemente facendo alcuni “salti” in zone distanti e per il resto seguire un moto Browniano (randomico) intorno alle loro abitazioni.

Lo studio dei ricercatori continua e chissa’ quali altre sorprese ci riservera’ il futuro.

Riuscira’ la matematica ad abbattere il numero dei reati nelle grandi citta’? Io dico di si.

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