giovedì 6 giugno 2013

La riconquistata socialita’ dei numeri primi

 

z1I numeri primi sono diventati meno solitari di quanto si pensasse. Questo grazie all’annuncio del prof. Zhang fatto qualche settimana fa e riguardante la dimostrazione che il numero di primi che nelle loro vicinanze hanno qualche altro primo sono infiniti anche se questa distanza puo’ essere grande fino a 70.000.000.

Questa dimostrazione e’ legata ad una delle piu’ famose congetture sui numeri primi mai risolta: quella dei numeri primi gemelli.

Un numero naturale e’ un primo se e’ divisibile solo per 1 e per se stesso. La sequenza inizia con 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,…… I numeri primi sono gli atomi della Teoria dei numeri, le entita’ indivisibili di cui sono fatti tutti I numeri. In quanto tali essi sono stati oggetto di intensi studi da parte dei matematici. Uno dei primi Teoremi in Teoria dei numeri e’ quello di Euclide che secondo la tradizione provo’ che il numero dei primi e’ infinito.

Ma parlare di infinita’ non basta. Per esempio le potenze di 2 sono infinite e allo stesso tempo sono molto rare. Infatti ce ne sono solo 10 nei primi 1000 numeri naturali (1,2,4,8,16,32,64,128,512). Anche i numeri pari sono infiniti e di sicuro sono meno rari delle potenze di 2 in quanto nei primi 1000 numeri naturali ne abbiamo 500. E’ i numeri primi? Assodato che ne sono infiniti, qual’e’ la loro densita’? Essi si posizionano tra i numeri pari e le potenze di 2. Piu’ comuni delle potenze di 2 ma  meno rari dei numeri pari. Tra i primi N numeri interi, circa N/log(N) sono primi; questo e’ il cosiddetto Teorema dei numeri primi provato alla fine del secolo 19-mo da Hadamard e de la Vallee Poussin. Questo significa che i numeri primi diventano sempre meno comuni man mano che i numeri diventano piu’ grandi anche se la decrescita e’ molto lenta.

Detto cio’ e’ naturale pensare che piu’ un tipo di numero e’ comune e piu’ piccola e’ la distanza tra di essi. Se siamo interessati ai numeri pari, siamo sicuri di trovarne uno ogni 2 numeri naturali. Infatti la gap come si suole indicare la distanza in inglese e’ sempre uguale a 2. Per le potenze di 2 abbiamo una storia completamente diversa. Le distanze successive crescono esponenzialmente e ci sono gaps finite di qualsiasi lunghezza.

Questi 2 problemi sono semplici. La questione delle gap tra i numeri primi invece e’ molto ma molto piu’ complicata. A prima vista sembra che i numeri primi siano disposti a caso tra i numeri naturali ma non e’ esattamente cosi. Infatti la distribuzione dei numeri primi non e’ completamente casuale.

I numeri primi gemelli sono quelli che hanno una distanza di 2 come 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13 e cosi via. La piu’ grande coppia di numeri primi gemelli ad oggi conosciuta e’ data da:

3,756,801,695,685 × 2666,669 + 1 e 3,756,801,695,685 × 2666,669 – 1

La congettura dei numeri primi gemelli stabilisce che esistono infinite coppie di tali numeri.

Nonostante la sua semplicita’ una dimostrazione di tale affermazione resiste all’attacco di matematici di tutto il mondo fin da quando la congettura venne enunciata nel 1849 dal matematico francese Alphonse de Polignac.

L’aspetto affascinante della Teoria dei numeri e’ proprio questo: le congetture sono cosi’ semplici che possono essere comprese da tutti. Ma dimostrarle e’ tutta un altra storia.

In generale per cercare di aprire un varco in una congettura della Teoria dei numeri i matematici cercano di rispondere a delle domande piu’ semplici che possono aiutare nella dimostrazione delle congettura. Questo e’ vero anche per la congettura dei primi gemelli. Una domanda a cui i matematici hanno cercato di dare una risposta e’ la seguente: esistono infinite coppie di primi con una distanza finita tra loro anche se molto grande e quindi maggiore di 2?

Ed e’ a questa domanda che il professore Zhang dell’Universita’ del New Hampshire afferma di aver dato una risposta definitiva. Infatti egli ha trovato che esistono infinite coppie di primi con distanza minore di 70.000.000 cioe’ in termini tecnici:

lim(n—>∞) inf (pn+1-pn)<C
con C=7X106
Per sfortuna dei primi solitari la distanza e’ ancora molto grande; ma Zhang ribadisce che questo e’ un limite superiore ed essere passati dall’infinito a 70 milioni e’ gia’ un grande successo. Inoltre il professore e’ convinto di poter migliorare a breve questo limite e portarlo al di sotto di un milione anche se rimane ben lontano dal 2 della congettura dei primi gemelli.

Il lavoro del professore Zhang e’ stato pubblicato sulla rivista degli Annali di Matematica (Annals of Mathematics) e adesso bisogna aspettare il parere dei matematici che rivisiteranno il lavoro prima di poter cantare vittoria.

In queste ultime settimane un’altra famosa congettura sembra mostrare qualche barlume di speranza per una sua dimostrazione. Si tratta della congettura forte di Goldbach che afferma che ogni numero pari maggiore di 2 e’ la somma di 2 numeri primi. Harald Helfgott (link) della Scuola Normale Superiore di Parigi ha provato un problema legato a questa congettura. Si tratta della congettura debole di Goldbach che stabilisce che ogni numero dispari maggiore di 5 puo’ essere scritto come la somma di 3 primi. Entrambe le congetture furono formulate da Goldbach in una corrispondenza con Eulero. Ovviamente una dimostrazione della congettura di Goldbach indirettamente proverebbe anche quella dispari ma non vale il contrario. Quindi al momento la congettura di Goldbach rimane ancora in attesa di una dimostrazione anche se il risultato di Helfgot e’ un altro tassello importante per la soluzione del puzzle. La dimostrazione di Helfgott (sempre che venga confermata dalla comunita dei matematici) segue il risultato ottenuto da Vinogradov che nel 1937 mostro’ che la congettura debole di Goldbach era vera per ogni n maggiore di una costante e che nonostante tutti gli sforzi era rimasto sempre un numero molto grande da poter permettere la verifica della congettura per gli interi al di sotto di questa costante con i computer piu’ potenti al mondo.

3 commenti:

  1. Questo numero, 70 000 000, non mi convince molto, anche se il resto va bene. Per noi, anche diecimila miliardi di miliardi (10^22), tanto per fare un esempio, è infinite volte la differenza tra due numeri primi consecutivi (ma anche non consecutivi, per la congettura di Polignac); ma a partire da 10^(n/2), nel suddetto esempio,poichè da 10^11 prima tale numero si presenterebbe rarissime volte. Per esempio prendiamo la differenza 6,essa si presenta infinte volte a partire da 1000 = 10^3
    prima invece è molto rara, per motivi logaritmici connessi alla frequena media delle distanze. Riepilogando: tutti i numeri pari sono infinite volte la differenza tra due numeri primi consecutivi, dal 2 dei primi gemelli (che già è presente tra i due primi gemelli 3 e 5, 5 e 7 minori di 10) a tutti gli infiniti altri, con la suddetta nostra limitazione (differenza rara prima di 10^n/2
    ma poi presente infinite volte, e quindi sia prima che dopo n = 70 000 000. Provare per credere! Francesco

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  2. Grazie anonimo per il tuo ok!

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