Onde gravitazionali: increspature del tessuto spazio-temporale

Albert Einstein predisse l’esistenza delle onde gravitazionali nel 1916 all’interno della teoria della Relativita’ Generale. In essa lo spazio e il tempo sono aspetti di una singola realta’ misurabile chiamata spazio-tempo. Materia ed energia sono le due facce della stessa medaglia. E’ possibile pensare allo spazio-tempo come ad un tessuto; la presenza di grandi quantita’ di materia o energia distorce lo spazio-tempo (cioe’ deforma il tessuto) ed e’ questa distorsione che noi percepiamo come gravita’. Oggetti in caduta libera, siano essi palloni, mele o satelliti, seguono il cammino piu’ corto in questo spazio-tempo curvato.
 

Attenzione. La ricostruzione bidimensionale riportata qui sopra e’ solo un modello usato per rappresentare quello che nella realta’ e’ uno spazio a 4 dimensioni (3 spaziali e una temporale). Osservare anche che la curvatura del tessuto e’ debole lontano dalla massa mentre e’ molto accentuata nelle sue vicinanze. E’ chiaro che la perturbazione dello spazio-tempo dipende dalla quantita’ di materia o di energia. Maggiore e’ la massa maggiore e’ la curvatura sia dello spazio che del tempo. Non e’ difficile quindi immaginare cosa succeda all’aumentare della massa. Ad un certo punto il tessuto si strappa e si forma quello che conosciamo come un buco nero. La massa e’ cosi’ grande che niente puo’ sfuggire al suo intenso campo gravitazionale. Qualsiasi cosa che orbita nelle vicinanze cade all’interno del buco nero senza mai piu’ poter tornare indietro incluso la luce.

Ma cosa sono le onde gravitazionali? La maggior parte degli scienziati le descrivono come delle “increspature” dello spazio-tempo cosi come una barca che attraversa l’oceano calmo produce delle onde nell’acqua. Queste onde dovrebbero essere prodotte da masse in movimento come stelle o buchi neri. Piu’ gli oggetti sono massicci e piu’ potenti saranno le onde gravitazionali; piu’ gli oggetti si muovono velocemente e maggiore sara’ il numero di onde prodotte in un certo intervallo di tempo. Gli eventi piu’ interessanti quindi per la rilevazione di onde gravitazionali sono: scontri tra buchi neri, scontro tra due galassie (merging in inglese) o coppie di stelle di neutroni.  

Buchi neri, stelle o galassie in orbita tra loro e ancora di piu’ se si scontrano, “emanano” onde gravitazionali verso lo spazio esterno che raggiungono poi la Terra. Le onde gravitazionali rispetto a quelle elettromagnetiche sono molte piu’ deboli ma hanno il vantaggio di poter passare attraverso la materia senza essere significativamente perturbate.Per questo ci possono aiutare a capire meglio l’universo. Per esempio l’unica possibilita’ per poterci avvicinare al Big Bang con le nostre osservazioni e’ quella di usare le onde gravitazionali in quanto con la luce possiamo arrivare fino a circa 300000 anni dopo il grande scoppio ( a causa della continua interazione dei fotoni con la materia in quel burrascoso periodo). Gli scienziati credono che come il Big Bang abbia creato la cosiddetta radiazione cosmica di fondo abbia dato origine anche ad un diluvio di onde gravitazionali. Da quello che sappiamo oggi queste onde sono l’unica forma di informazione capace di arrivare a noi dopo il Big Bang senza essere state distorte. Esse dovrebbero apparire come un fondo “stocastico” o “randomico” e dovrebbero portare con se le informazioni sulla loro violenta origine e sulla natura della gravita’ che non possono essere ottenute con nessun altro oggetto astronomico. Sfortunatamente quando queste onde arrivano sulla Terra sono estremamente deboli e quindi difficili da rilevare. Questo e’ dovuto al fatto che come per le onde nell’acqua, l’intensita’ diminuisce man mano che ci si allontana dalla sorgente. Gli scienziati hanno dovuto usare la loro immaginazione per realizzare degli strumenti abbastanza sensibili per cercare di rilevare queste leggere variazioni dello spazio-tempo. La tecnica e’ quella dell’interferometria. Delle masse di prova vengono poste a grande distanza tra loro e dei laser continuamente misurano la distanza di queste masse. Le masse sono libere di muoversi in modo che quando passa un’onda gravitazionale la distanza tra esse viene disturbata e quindi fluttua. In altre parole lo spazio tempo verra’ allungato o accorciato a seconda della direzione dell’onda gravitazionale. I laser registrano queste variazioni della distanza permettendo agli scienziati di poter capire se e’ passata o meno un’onda gravitazionale. Piu’ grande e’ la distanza tra le masse, e piu’ i laser sono sensibili alle piccole fluttuazioni. Al momento ci sono diversi progetti sparsi per il mondo alla ricerca di queste onde: LIGO (USA), VIRGO (Italia/Francia), GEO (Germania/Gran Bretagna), TAMA (Giappone) e il progetto LISA (Agenzia Spaziale Europea) che dovrebbe entrare in funzione nel 2017. Quest’ultimo sara’ l’unico rilevatore a non trovarsi sulla superficie terrestre ma nello spazio. Esso sara’ costituito da tre satelliti artificiali posti ai lati di un triangolo equilatero, separati tra loro da una distanza di 5 milioni di chilometri. Questo triangolo si muovera’ in un’orbita solare, alla distanza di 1UA dal sole.
 

Il rilevatore LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory ) invece e’ stato uno dei primi interferometri costruiti e ad oggi e’ quello piu’ sensibile. Si trova in America ed e’ un progetto congiunto tra scienziati del California Institute of Technology (Caltech) e del Massachusetts of Technology (MIT). E’ costituito da 3 rivelatori posti nelle citta’ di  Livingston, Hanford Site e Richland. Ognuno di essi e’ costituito da due bracci lunghi dai 2 ai 4 Km, posti ad angoli di 90 gradi tra loro, con la luce che passa attraverso dei tubi a vuoto del diametro di 1 m. Un’onda gravitazionale che colpisce il rivelatore tendera’ in una direzione ad allungare leggermente il braccio e nell’altra ad accorciarlo.
 

Sono queste piccole variazioni che i fisici del pianeta stanno cercando. Ma nonostante i lunghi bracci, le onde gravitazionali piu’ intense cambierebbero la distanza tra le estremita’ dei bracci di solo circa 10^-18 metri (cioe’ un 1 preceduto da 18 zeri). La massima risoluzione che si puo’ ottenere al momento con LIGO e’ dell’ordine di 5X10^-22 metri. Ma come si spiegano queste piccole fluttuazioni? L’intensita’ del campo delle onde gravitazionali, e’ espressa dal fattore adimensionale h=(GM/Rc²)(v²/c²)

dove il primo fattore e’ il potenziale Newtoniano dovuto ad una massa M ad una distanza R diviso la velocita’ della luce al quadrato. Il secondo fattore invece e’ il fattore relativistico essendo il rapporto tra il quadrato della velocita’ del sistema e quella della luce al quadrato. Essendo le distanze R delle sorgenti di onde gravitazionali molto grandi questo fa si che il parametro h sia molto, molto piccolo, da rendere quasi impossibile l’individuazione delle onde gravitazionali.

Ad oggi nessuno degli esperimenti e’ riuscito a “vedere” le onde gravitazionali. Ma questo non e’ un insuccesso in quanto contribuisce comunque a chiarire alcuni aspetti della storia primordiale del nostro Universo. Di modelli dell’universo neonato ne esistono diversi (teoria delle stringhe) e grazie al fatto che fino ad oggi non sono state osservate le onde gravitazionali ha fatto in modo di poter eliminare diversi possibili modelli. E’ stato un altro piccolo passo nella comprensione dei parametri che descrivono l’evoluzione dell’universo pochi minuti dopo il Big Bang. Secondo la teoria delle stringhe e’ possibile che nella fase iniziale dell’universo si siano formate delle stringhe cosmiche successivamente “stirate” dall’espansione; queste stringhe avrebbero potuto formare degli anelli di energia producendo delle onde gravitazionali. Poiché’ queste non sono state osservate, quei modelli che prevedono onde gravitazionali molto intense subito dopo la nascita dell’universo possono essere abbandonati (vedi articolo An Upper Limit on the Amplitude of Stochastic Gravitational-Wave Background of Cosmological Origin su Nature).

Riuscire a dimostrare l’esistenza delle onde gravitazionali non portera’ solo ad una migliore conoscenza del nostro universo e della sua nascita ma anche una conferma della cosiddetta teoria quantistica dei campi. Secondo la meccanica quantistica (dualismo onda-particella) ogni particella può essere considerata come un’onda e allo stesso tempo ogni onda (come quella della luce) come costituita da particelle (i fotoni nel caso della luce). Come un’ onda elettromagnetica si puo’ considerare come una sovrapposizione di fotoni, allo stesso modo un’onda gravitazionale si puo’ considerare come costituita da quanti detti “gravitoni”, particelle di massa nulla e viaggianti alla velocita’ della luce esattamente come i fotoni per “trasportare” la forza da un oggetto all’altro. Quindi la rilevazione delle onde gravitazionali sarebbe una prova dell’esistenza del gravitone che e’ l’unico bosone ancora mancante nel quadro del modello standard. Secondo questo modello le forze fondamentali sono 4: 1) Forza elettromagnetica 2) Forza debole 3) Forza nucleare 4) Forza gravitazionale

e ognuna di queste ha un “vettore” che trasmette l’interazione tra gli oggetti chiamato bosone (l’onda rossa dell’immagine qui sotto).
 

La prima forza e’ responsabile dell’interazione tra cariche elettriche e il vettore portatore di tale forza si chiama fotone, la seconda e’ responsabile della radioattivita’ del nucleo e i portatori sono le famose particelle Zo e W+/W-, la terza e’ responsabile della coesione del nucleo col vettore chiamato gluone (dall’inglese colla) e l’ultima dell’interazione tra la materia presente nel nostro universo grazie allo scambio del gravitone. Riguardo le particelle fondamentali, secondo il modello standard tutto si riduce ai cosiddetti quark e leptoni come mostrato nella tabella sottostante.
 

E’ stato proprio il modello standard negli ultimi mesi a trovarsi sotto le luci della ribalta grazie alla scoperta del Bosone di Higgs al CERN di Ginevra. Nel modello standard infatti c’era un problema: le particelle non avrebbero dovuto avere una massa implicando delle forze a lungo raggio di azione. Ma noi sappiamo che cio’ non e’ vero come nel caso delle forze deboli dove il raggio di azione e’ molto corto essendo i quanti mediatori delle particelle molto pesanti. Tutto e’ andato al suo posto nel momento in cui e’ stata scoperta la particella di Higgs. Secondo quanto predetto da Higgs le particelle non hanno massa ma l’acquistano solo dopo aver interagito con un campo detto appunto campo di Higgs. In questa ottica, i bosoni della forza elettrodebole hanno una massa in quanto interagiscono col campo di Higgs mentre i fotoni no in quanto non interagiscono con esso.

Un’analogia usata comunemente per rappresentare la diversa interazione delle particelle elementari con il campo di Higgs, e quindi l’origine delle loro masse, è quella del gelataio che arriva su una spiaggia affollata da bambini; tutti i bambini corrono verso il gelataio rallentandone il suo moto e dando cosi l’impressione che il gelataio sia diventato piu’ “pesante” essendo diventato piu’ lento. Se il campo di Higgs (i bambini sulla spiaggia) non esistesse, l’universo sarebbe fatto di particelle (i gelatai) senza massa in moto alla velocità della luce!

In definitiva l’eventuale scoperta delle onde gravitazionali e del gravitone aggiungerebbe un altro tassello importante al modello standard e alla comprensione quindi del mondo che ci circonda.


Ieri, 11 Febbraio 2016 e' stato dato l'annuncio della scoperta delle onde gravitazionali da parte del team LIGO. Qui di seguito i dettagli tecnici. Buona lettura.

https://www.ligo.caltech.edu/system/media_files/binaries/301/original/detection-science-summary.pdf

Sistemi complessi: adattamento, emergenza e prevedibilita’

 

Secondo il metodo scientifico tradizionale (quello di Galileo, Newton e Laplace per intenderci) per analizzare un problema bisogna isolarlo e semplificarlo per arrivare ad una formalizzazione matematica che permettera’ poi di trovare le possibili soluzioni (riduzionismo).

Una delle caratteristiche principali del riduzionismo e’ quella di cercare dei principi fisici che possano essere ricondotti ad un piccolo insieme di leggi fondamentali, una teoria finale che dovrebbe essere espressa in termini della fisica delle particelle.

E’ conoscenza comune, comunque che i sistemi viventi mostrano strutture e processi complessi, come il sistema immunitario, la mente, la rete metabolica e cosi via. La complessita’ e presente anche nel mondo inanimato come per esempio nelle strutture delle galassie. Quindi il riduzionismo contrariamente alla complessita’ cerca di spiegare tutto con un piccolo insieme di semplici leggi che dovrebbero spiegare l’esistenza dell’ordine nell’Universo. Se alla fine tutto si riduce a delle particelle elementari e poche leggi fisiche, da dove viene l’ordine (complessita’) presente nel nostro Universo? In altre parole il programma riduzionista non puo’ essere completo senza spiegare l’emergenza della complessita’.

Il riduzionismo si e’ dimostrato molto efficace per diversi problemi, come la costruzione di un palazzo, di un ponte, le automobili e i computer essendo questi dei sistemi caratterizzati da poche variabili non fortemente intercorrelate tra loro. In poiu’ questi problemi non cambiano nel tempo: la gravita’, il combustibile, le proprieta’ elettriche... sono tutte costanti nel tempo.

Ci sono due situazioni in cui questo approccio tradizionale non funziona. Una e’ quando il sistema ha molte variabili; in questo caso non e’ possibile trovare delle soluzioni a causa del tempo richiesto per l’analisi. Si possono solo applicare delle tecniche di ottimizzazione per avvicinarsi alla soluzione reale.

L’altra e’ quando il problema cambia nel tempo e quindi ogni possibile soluzione sara’ gia’ obsoleta appena trovata. In questo caso non e’ possibile fare alcuna previsione sull’evoluzione futura e le tecniche classiche diventano inadeguate.

L’impossibilita’ per molti sistemi fisici di fare delle previsioni accurate e’ stata sollevata dalla teoria del caos deterministico nei primi anni sessanta. E’ chiaro che un sistema deterministico porta a pensare ad un qualche cosa di prevedibile secondo quanto affermato da Laplace: se si conoscessero tutte le posizioni e velocita’ delle particelle presenti nell’universo, applicando le leggi di Newton, sarebbe possibile conoscere gli eventi passati e futuri del nostro universo.

In effetti ci sono diversi punti oscuri con la visione semplicistica di Laplace.

1. Anche con una descrizione completa di tutte le particelle dell’universo non saremmo capaci di fare previsioni sui vari fenomeni a diverse scale. La vita, la mente, i sogni, le emozioni l’immaginazione, l’economia, le guerre per citarne alcuni. Tutti questi fenomeni sono reali ed hanno un impatto sul mondo fisico, ma non possono essere descritti in termini di leggi delle particelle.

2. Un modello completo dell’universo per forza deve contenere il modello stesso. Questo porta ad un paradosso. Se il modello descrive l’universo e allo stesso tempo e’ parte dell’universo esso deve contenere se stesso infinite volte.

3. L’irreversibilta’ termodinamica ci ha insegnato che non e’ possibile risalire a tutti gli eventi del passato. Per esempio, se ci sono due stati che portano entrambi ad un stesso stato, una volta che siamo nell’ultimo stato non e’ piu’ possibile stabilire da quale dei due stati precedenti si e’ partiti.

4. Il determinismo non implica necessariamente la prevedibilita’. Questa e’ limitata nei sistemi caotici in quanto essi sono sensibili alle condizioni iniziali.

Nei sistemi caotici, stati iniziali molto simili possono portare a stati futuri completamente diversi tra loro. Per esempio una variabile con un valore di 1.3232323232 puo’ portare ad un valore finale di 0.3 mentre un valore iniziale di 1.3232323233 puo’ portare per esempio ad un valore finale di -3 indipendentemente dalla precisione delle nostre misure (questo comportamento puo’ essere misurato con gli esponenti di Lyapunov indicati con lambda). Questo comporta la non prevedibilita’ a lungo termine dei sistemi caotici.

Indicando con e_o l’incertezza iniziale sempre presente, questa si propaga secondo la legge esponenziale riportata nella figura qui sopra dove l e’ il massimo esponente di Lyapunov. Nell’ipotesi di volere un incertezza massima minore o uguale ad 1 questo implica un t_max dato da

t_max=(1/l)ln(1/e_o )

Questo significa che per quanto possa essere piccolo il tasso di crescita esponenziale l, se l>0 , per poter raddoppiare il tempo di previsione bisogna diminuire di molti ordini di grandezza l’incertezza iniziale raggiungendo inevitabilmente dei limiti invalicabili.

Un esempio classico di sistema caotico e’ quella della previsione meteo. Questa e’ limitata non perche’ la dinamica dell’atmosfera e’ sconosciuta agli scienziati ma perche’ nella dinamica dell’atmosfera e’ presente del caos a causa della dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali. Anche se la precisione con cui riusciamo a determinare le condizioni iniziali venisse aumentata, la previsione non potrebbe essere fatta con alta confidenza per piu’ di due o tre giorni.

Un altro esempio di sistema con prevedibilita’ limitata e’ il traffico stradale. La dinamica dei veicoli e’ descritta dalla meccanica classica ma ci sono dei fattori aggiuntivi che vanno tenuti in conto che possono influenzare il movimento delle automobili (per esempio una bassa visibilita’, una strada bagnata, dei lavori in corso, un autista distratto, un autista sotto effetto dell’alcol, la presenza di pedoni etc. etc.)

E’ possibile provare a predire la futura posizione di un auto, ma questa previsione sara’ limitata nel tempo a non piu’ di un paio di minuti. Piccoli cambiamenti nella traiettoria di un veicolo possono portare a degli effetti significativi sul traffico di un ‘intera citta’. Questo e’ dovuto al numero elevato di interazioni tra ogni veicolo e il suo ambiente esterno: pedoni, semafori, pioggia etc. Queste interazioni sono alla base dei sistemi complessi.

Vediamo un attimo cosa si intende con complessita’. Etimologicamente il termine deriva dal latino plexus, che significa intrecciato. In altre parole, un sistema complesso e’ difficile da separare. Questo perche’ le interazioni tra le sue componenti sono rilevanti, visto che il futuro di ogni elemento dipende inesorabilmente dallo stato degli altri elementi.

Esempi di sistemi complessi sono ovunque: cellule, cervello, citta’, internet, mercati, colonie di insetti, ecosistemi, biosfera, popolazioni, terremoti, traffico solo per citarni alcuni. Tutti questi sistemi sono costituiti da elementi che interagiscono generando un comportamento del sistema che dipende dagli elementi stessi e dalle loro interazioni. Per esempio le cellule sono fatte di molecole; le cellule sono vive mentre le molecole no. Da dove viene quindi la vita? Questa viene dall’interazione delle molecole. Allo stesso modo il cervello e’ formato da neuroni e molecole; il cervello e’ capace di ragionare, immaginare, calcolare. Queste proprieta’ non sono presenti nei componenti (neuroni e molecole) ma sono generate dalla loro interazione. E’ proprio a causa della rilevanza delle interazioni che non e’ possibile ridurre il comportamento del sistema a quello delle sue parti. Le interazioni generano nuova informazione che non e’ presente nelle parti del sistema ma e’ essenziale per il suo comportamento.

Un classico esempio di complessita’ e’ il gioco della vita di Conway dal nome del matematico che l’ha inventato nel 1982. Esso consiste in un reticolo digitale in cui ogni cella puo’ prendere due valori: 1 (cella viva) e 0 (cella morta). Lo stato di ogni cella dipende dai suoi 8 primi vicini (N, NE, NO, S, SE, SO, E, O): se ci sono meno di due celle intorno ad una cella viva, questa muore di “solitudine”. Se ci sono piu’ di 3 celle vive, la cella centrale muore lo stesso a causa della “sovrappopolazione”. Se ci sono esattamente 2 o 3 celle vive la cella centrale rimane viva. Se intorno ad una cella morta ci sono esattamente 3 celle vive questa cambia il suo stato da morta a viva.

 

I primi vicini di ogni cella nel gioco vita.

Queste regole semplicissime riescono a produrre un comportamento di alta complessita’. Esistono certe strutture stabili che possono emergere da condizioni inziali del tutto casuali. Allo stesso modo esistono strutture oscillanti che ripetono un pattern dinamico con un ben determinato periodo.

 

Alcune iterazioni del gioco vita partendo da una struttura a croce con 12 celle vive (in nero).

Evoluzione di una colonia di batteri inizialmente composta da 4 batteri formanti un triangolo. Dopo 10 generazioni si ottiene un pattern ricorrente chiamato "semaforo”.

Cannone con gliders che si spostano verso sinistra in basso.

Altre strutture invece si muovono sul reticolo (chiamate gliders) con una velocita’ ben determinata fino a quando non incontrano qualche altra struttura con cui interagiscono. C’e’ una varieta’ di pattern dinamici sorprendente e molti devono ancora essere scoperti.

Il gioco Life e’ stato dimostrato essere anche un computer universale nel senso che puo’ compiere (anche se molto piu’ lentamente) qualsiasi calcolo che puo’ fare un altro computer come un IBM o Mac. Posizionando infatti opportunamente i cannoni di gliders e’ possibile creare dei flussi continui che interagiscono tra loro come possono fare gli impulsi di elettricità all’interno dei fili elettrici.

Con questi blocchi e’ possibile costruire dei gates logici come AND, OR e NOT. Questi gates a loro volta possono essere utilizzati per realizzare circuiti piu’ complessi. Tutti i componenti necessari per disegnare un computer sono presenti in Life come dimostrato da Conway e altri studiosi.

 

Il gate logico AND dove gli inputs sono inseriti nella prima riga dell’automa con delle specifiche condizioni iniziali e il desiderato output e’ nell’ultima riga a destra.

 

E’ possibile che questa ricchezza di strutture possa essere prevista dalle regole del gioco e dalle condizioni iniziali? La risposta e’ no. Le proprieta’ su larga scala non possono essere determinate a priori. L’unico modo per conoscere lo stato finale del sistema Life e’ quello di farlo evolvere sullo schermo di un computer.

 

Evoluzione del gioco della Vita a partire da una condizione casuale (a), dove le celle bianche sono quelle vive e le nere quelle morte. Dopo 410 passi (b), si formano alcune strutture stabili anche se ci sono ancora delle zone attive. Dopo 861 passi (c),alcune strutture sono state distrutte e altre sono state create. L’attivita’ continua nella parte bassa del reticolo. Dopo 1416 passi (d), la dinamica del sistema e’ periodica, con strutture stabili e oscillanti (Wilensky, 1999).

 

Sebbene il gioco Life e’ un universo discreto con delle regole molto semplici e una fisica perfettamente nota, non e’ stato ancora possibile esplorare l’intero mondo digitale ad esso associato. Ci sono diverse questioni che ancora non hanno una risposta e forse non l’avranno mai.

Un altro esempio di sistema complesso e’ dato dagli automi cellulari unidimensionali, studiati negli ultimi 20 anni da Stephen Wolfram che a loro ha dedicato diversi articoli e libri. Il gioco della vita e’ un automa cellulare a due dimensioni in quanto le celle sono disposte su di un piano.

Gli automi cellulari unidimensionali invece si sviluppano spazialmente su un riga di celle (l’asse x dello schermo del computer) e temporalmente lungo le righe inferiori dello schermo (l’asse y del monitor). Le celle di questi automi possono prendere due valori: zero e uno. Lo stato di ogni cella dipende dai suoi stati precedenti e da quelli dei suoi primi vicini (destra e sinistro). Questo significa che a partire dagli otto possibili stati (111, 110, 101, 100, 011, 010, 001, 000), verra’ assegnato un valore (zero o uno) per ogni combinazione. Poiche’ ci sono otto combinazioni e due possibili stati per ogni cella questo significa che ci saranno 2^8=256 diverse regole (11111111, 11111110, 11111101, ..., 00000000). Trasformando queste stringhe in base dieci ci si puo’ riferire ad esse con un numero (per es. la regola 10101010 corrisponde a 27+25+23+21=128+32+8+2=170). Tra queste 256 regole, alcune sono equivalenti tra loro e solo 88 mostrano avere delle dinamiche diverse.

Esistono delle regole che producono dei patterns ripetitivi molto semplici (per es. regole 254, 250). Altre regole producono delle strutture nidificate (per es, regole 90 e 22). Ci sono altre che producono dei patterns pseudo-casuali (per es. regole 30 e 45). Finalmente ci sono delle altre che producono strutture localizzate (per es. regola 119). Questi casi vengono illustrati nella nell’immagine seguente.

Similmente al gioco della Vita, ci sono delle strutture che persistono nel tempo e viaggiano nello spazio. Quando le strutture collidono, interagiscono e possono trasformarsi. Notare che ci sono interazioni a diverse scale: tra celle e tra strutture. Ma da dove viene tutta questa complessita’?

La risposta e’ semplice: dall’interazione delle celle.

Esempi di differenti classi di automi cellulari unidimensionali con uno stato iniziale costituito da una singola cella attiva nella riga iniziale (il tempo fluisce verso il basso). La regola 250 (a) produce dei patterns regolari (classe I). La regola 90 (b) produce dei patterns nidificati (classe II). La regola 30 (c) produce un output quasi casuale (classe III) mentre la regola 110 (d) genera delle strutture localizzate molto complesse (classe IV).

 

Automa cellulare unidimensionale regola 110 partendo da una condizione iniziale casuale.

Un altro automa cellulare unidimensionale con la proprieta’ della reversibilita’. Partendo da uno stato casuale (prima colonna a sinistra) l’automa passa da uno stato disordinato ad uno ordinato (colonna 4 da sinistra). Nella quinta colonna fino all’ultima a destra e’ mostrato l’automa usando come stato iniziale quello finale della colonna quarta. Notare la reversibilita’.

Regola 150 in domini finiti di larghezza 17,19 e 31 con periodi 15,510 e 31 rispettivamente.

  La complessita’ come gia’ detto porta con se l’impossibilita’ di fare previsioni. Comunque diversamente dai sistemi caotici questa impossibilita’ non nasce dalla dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali ma dalla rilevanza delle interazioni e dalla nuova informazione che esse creano. Per esempio, lo stato futuro della semplice regola 110 non puo’ essere determinato senza far partire la simulazione al computer. Le strutture emergenti del gioco della Vita non possono essere predette a partire dalle sue semplici regole se il sistema non e’ stato fatto evolvere prima.

Quasi tutti i sistemi del mondo reale sono aperti e quindi interagiscono continuamente con l’ambiente circostante che a sua volta puo’ cambiare in continuazione. Questo fa si che sia praticamente impossibile fare delle previsioni a lungo termine. Per far fronte ai continui cambiamenti dell’ambiente esterno i sistemi complessi si adattano ad esso per far fronte a tutte le perturbazioni esterne. La differenza tra l’adattamento e la prevedibilita’ sta nel fatto che quest’ultima cerca di intervenire prima che una perturbazione influenzi il sistema. L’adattamento invece entra in gioco una volta che la perturbazione si e’ manifestata e il sistema cerca di adattarsi alla nuova situazione senza l’intervento umano.

Si puo’ dire che l’adattamento e’ un tipo di creativita’ come riportato dal fisico Kauffman nel 2008. I sistemi adattivi possono creare delle nuove soluzioni ai problemi. Ci sono diversi modi per creare un sistema adattivo. Uno di questi e’ l’uso del concetto di auto-organizzazione. Un sistema puo’ essere descritto come auto-organizzante se il suo comportamento dipende dall’interazione dei suoi elementi e non dal comportamento del singolo elemento o da una sorgente esterna. Tutti gli esempi riportati precedentemente possono essere visti come sistemi complessi auto-organizzati.

Un esempio di adattamento attraverso l’auto-organizzazione e’ stato proposto per il coordinamento del traffico (Gershenson 2005). Invece di provare a prevedere quando un flusso significativo di autovetture arriva ad un incrocio per gestire un semaforo, si puo’ pensare di dare la preferenza alla strada con piu’ alta domanda. In questo modo, i veicoli sulla strada con piu’ bassa domanda attenderanno un pochino di piu’, aumentando pero’ la probabilita’ che arrivino altri veicoli che si aggiungeranno a quelli in attesa. Una volta che la domanda supera una certa soglia il semaforo fa scattare il verde. Con queste semplici regole locali e senza una diretta comunicazione tra i semafori, viene promossa una sincronizzazione adattativa che aggiusta essa stessa alle condizioni del traffico.

Un tale sistema auto-organizzante ha mostrato di riuscire a ridurre i tempi di attesa del 50% con una notevole riduzione di soldi ed inquinamento. E questo semplicemente imitando quello che fa la natura da milioni di anni.

La maggior parte degli automi cellulare (per esempio quelli unidimensionali di Wolfram) non sono interessanti ( nel senso che la loro dinamica o e’ semplice o completamente casuale). Da qui la questione generale: dove si trovano gli automi cellulari interessanti all’interno dell’intero spazio delle regole possibili? Una risposta e’ venuta dallo scienziato Langton che ha suggerito che il comportamento complesso compare alla frontiera tra l’ordine e il caos (edge of chaos), cioe’ quando le regole (tramite qualche parametro particolare) si approssimano alla regione caotica allontanandosi dalla regione fredda dell’ordine. Ragionando allo stesso modo e’ arrivato alla conclusione che i sistemi viventi e quelli complessi possono solo esistere alla frontiera del caos dove l’informazione puo’ essere immagazzinata cambiata e trasmessa.

Gli automi cellulari hanno dimostrato di essere molto utili per analizzare una grande varieta’ di fenomeni naturali; questo perche’ la maggior parte dei processi fisici sono locali (le molecole interagiscono con quelle a loro vicine, i batteri con quelli che orbitano nelle loro vicinanze, le formiche e le persone principalmente con chi gli sta vicino....). Sebbene i fenomeni naturali siano continui, esaminando il sistema a passi discreti temporali non diminuisce la potenza dell’analisi. Quindi nel mondo artificiale degli automi cellulari e’ possibile scoprire un microcosmo simile a quello del mondo reale.

Una delle cose che salta all’occhio di tutti e’ l’ordine della Natura. Da un’ameba alle piante agli animali e all’universo stesso si trova un incredibile ordine ovunque. Questo fa nascere un’ovvia questione: da dove viene questo ordine? Come si e’ originato?

Una delle lezioni fondamentali degli automi cellulari e’ la loro capacita’ di auto-organizzarsi. Da semplici regole locali che nulla dicono circa il comportamento globale del sistema e’ possibile vedere l’emergere dell’ordine. Nelle parole del biologo teorico, Kauffman, si tratta di ordine a gratis. Ed e’ proprio quest’ordine a gratis che ci permette di emulare l’ordine che ritroviamo in Natura. Alla creazione dell’ordine e’ legato il concetto di complessita’. Come puo’ un insieme finito di molecole creare una persona umana capace di ragionare? Chiaramente il tutto e’ piu’ grande della somma delle singole parti. Come e’ possibile che le termiti riescano a costruire delle strutture molto complesse se il singolo individuo che inizia il nido non riesce nemmeno a vivere per il tempo necessario a finirlo?

La risposta come abbiamo visto l’hanno dato gli automi cellulari: tutto nasce grazie all’interazione locale tra i componenti del sistema che si auto-organizza (siano essi animati che inanimati).

Per chi voglia addentrarsi nel mondo degli automi cellulari, puo’ farlo utilizzando il programma free Mcell di Mirek Wojtowicz, che puo’ essere scaricato da sul sito http://www.mirekw.com/ca/

Quanto sono frequenti i terremoti? C’e’ la possibilita’ di prevederli?

La domanda piu’ frequente rivolta ai sismologi dalla gente comune e’ la seguente: e’ possibile prevedere i terremoti? E se no perche’?

A parte i giudici dell’Aquila, nessuno al mondo puo’ affermare che i terremoti siano prevedibili. Nel corso di questo articolo cercheremo di capire il perche’. Quello che i geofisici hanno capito in anni di studio e’ che la dinamica della Terra puo’ essere modellizzata con la tettonica delle placche e che i terremoti non sono l’effetto di eventi casuali ma piuttosto il prodotto finale di una lunga serie di movimenti e stress che avvengono all’interno della terra in punti specifici.

Quindi detto cosi, i terremoti dovrebbero essere prevedibili. Ma nonostante tutti gli sforzi dei ricercatori  non esiste ancora un metodo che riesca a predire con assoluta certezza, il giorno, l’ora e la magnitudo di un terremoto. La Terra  e’ un sistema troppo complesso (non complicato) per riuscire a modellare il suo comportamento a livello microscopico. Molti scienziati, pensano che questo problema sia praticamente irrisolvibile. Prima di un terremoto, gli stress di una faglia (frattura tra due blocchi di roccia) possono rimanere in equilibrio critico per un tempo anche molto lungo. Riuscire a sapere quando una faglia subira’ il movimento relativo delle parti ad essa adiacenti (cioe’ quando avviene un terremoto) dipende da cosi tanti fattori aggiuntivi (alcuni microscopici altri macroscopici) oltre agli stress che la previsione diventa impossibile.

Lungo una faglia ci possono essere essenzialmente tre movimenti relativi che vanno sotto il nome di faglia normale, faglia inversa e faglia trascorrente rispettivamente.

 

Un’analogia puo’ essere quella della previsione dei movimenti della sabbia all’interno di una clessidra. Possiamo predire con grande accuratezza quanto tempo sara’ necessario alla sabbia per svuotare la parte superiore della clessidra. Possiamo anche predire la forma che la sabbia prendera’ una volta caduta nella camera inferiore ma non possiamo predire dove andra’ a finire ogni granello quando esso cade attraverso il foro della clessidra.

Il primo ad analizzare la dinamica di un mucchietto di sabbia e’ stato il fisico danese Per Bak che grazie ai suoi studi ha scoperto come molti sistemi dinamici naturali, fuori dall’equilibrio, possono auto-organizzarsi in uno stato critico governato da una legge di potenza.

L’apparato sperimentale ideato da Bak molto simile ad una clessidra è costituito da un piatto sul quale vengono fatti cadere uno alla volta dei granelli di sabbia. Gradualmente i granelli caduti formano un mucchietto i cui pendii lentamente diventano sempre più ripidi. Quando la pendenza supera un certo valore si formano delle valanghe. Man mano che si aggiunge altra sabbia la dimensione media di queste valanghe aumenta e alcuni granelli finiscono oltre il bordo del piatto. Il mucchietto cessa di crescere quando la quantità di sabbia aggiunta è in media uguale a quella che cade al di fuori del piatto ed è a questo punto che il sistema ha raggiunto lo stato critico.

A questo punto aggiungendo al mucchietto anche un solo granello di sabbia si possono innescare valanghe di qualunque dimensione.

Tracciando un grafico in scala logaritmica in cui si pone sull’asse y il numero di valanghe e sull’asse x la loro dimensione (il numero di granelli coinvolti) si ottiene una retta: questo vuol dire che il fenomeno e governato da una legge di potenza.

Se la forma del mucchietto è tale per cui la pendenza è inferiore a quella critica le valanghe sono più piccole di quelle che si verificano nello stato critico permettendo così alla sabbia di raggiungere lo stato critico. Se la pendenza è superiore a quella critica le valanghe sono più imponenti di quelle allo stato critico facendo crollare il mucchietto di sabbia fino allo stato critico.

I mucchietti supercritici proprio come quelli subcritici sono attratti verso lo stato critico. Quindi il sistema si auto-organizza in uno stato critico dove anche una piccola perturbazione puo’ generare una catastrofe. Questo modello sembra governare terremoti, valanghe, tsunami, economia e altri fenomeni. L’auto-organizzazione implica la validita’ di una legge di potenza, il che significa che non esiste nessuna scala particolare, cioe’ i terremoti di bassa intensita’ sono molto piu’ frequenti di quelli catastrofici. Il meccanismo alla base dei terremoti e’ lo stesso sia per quelli catastrofici che per quelli di bassa intensita’.

Sebbene la previsione dei terremoti al momento e’ troppo difficile (e forse lo sara’ per sempre come io credo) e’ possibile calcolare la probabilita’ che avvenga un terremoto in una particolare regione della Terra. Questo fa si che i progettisti degli edifici in regioni a rischio seguano delle regole piu’ stringenti rispetto a quelle utilizzate in zone a basso rischio sismico.

Qualsiasi mappa della sismicita’ mondiale come quella mostrata qui sotto, mostra che i terremoti per la maggior parte tendono a formare dei clusters con il 90% di essi disposti lungo le frontiere delle placche terrestri.

 

Occasionalmente comunque, ci sono sequenze di terremoti che capitano in posti dove non era stata osservata nessuna sismicita’ fino ad allora. Con molta probabilita' questo e’ dovuto al fatto che gli strumenti per registrare i terremoti sono nati circa 100 anni fa e quindi in zone di bassa sismicita’ non c’e’ stato tempo a sufficienza per raccogliere una quantita’ di dati statisticamente significativi. Ad ogni modo la sfida maggiore per i geofisici non e’ tanto l’identificazione delle regioni a rischio quanto riuscire a stimare la frequenza e l’energia degli eventi sismici di una particolare regione.

L’intensita’ di un terremoto e’ espressa in magnitudo M che e’ legata all’energia E rilasciata dall’evento sismico ( log₁₀E = 11.8 + 1.5M ). Un aumento della magnitudo di un’unita’ implica un aumento dell’energia di un fattore 32. Fortunatamente per gli esseri umani i terremoti catastrofici sono molto meno frequenti di quelli piccoli. Nella tavola seguente sono riportate le intensita’ espresse in magnitudo dei terremoti e la loro media annuale. Per esempio mediamente in un anno avremo sulla terra un terremoto catastrofico con una magnitudo superiore a 8.

 

 

Il numero di vittime generato da un terremoto non dipende necessariamente dalla loro magnitudo. Terremoti moderati possono generare piu’ vittime di un terremoto forte se questi avvengono in aree dove le costruzioni sono fatiscenti o non costruite con criteri antisismici. Una frattura generata nel suolo da un terremoto aumenta approssimativamente con la sua magnitudo secondo la relazione:

log10(Area) = (1.05M)-2.95.

Un terremoto di magnitudo 5 generera’ una frattura con un raggio di circa 8 Km, un terremoto di magnitudo 6 invece una frattura con un raggio di circa 30 Km e un terremoto di magnitudo 8 una frattura con un raggio di circa 300 Km.

La distribuzione del numero di terremoti in funzione della magnitudo e’ stata trovata seguire una legge di potenza: quando graficata su una scala semilogaritmica la distribuzione e’ lineare. I primi ad accorgersi di questo comportamento furono Gutenberg e Richter nel 1944 che introdussero la famosa equazione che oggi porta il loro nome:

log10 N = a – bM

Qui N e’ il numero cumulativo di terremoti con magnitudo superiore o uguale ad M. a e b sono due costanti. Il grafico sottostante e’ un esempio di legge G-R per I terremoti registrati in Italia dal 1900 al 2006. Il grafico mostra la distribuzione Frequenza-Magnitudo (FMD in inglese) in accordo al database dell’INGV.

La costante b indica la pendenza della FMD e descrive la relativa intensita’ dei terremoti. Un valore alto di b indica una larga proporzione di terremoti deboli e viceversa. Il valore a (intercetta della retta con l’asse x) indica l’attivita’ sismica. Osservare che per piccole magnitudo la retta non segue la legge di potenza G-R in quanto e’ difficile riuscire a captare i terremoti di piccola intensita’. Nel nostro caso il valore di b e’ circa 1.1 e quello di a circa 8.65 considerando solo I terremoti con M>=5.

 

 

FMD degli eventi registrati in Italia dal 1900 al 2006 ( dati estratti dal database del INGV)

Correlazione tra il logN e magnitudo per I sismi avvenuti in  Italia dal 1900 al 2006. 

La pendenza del fit lineare rappresenta il coefficiente b (1.132) della relazione G-R e l’intercetta il valore a (8.656). Le equazioni fin qui descritte ci dicono anche un’altra cosa molto importante: i terremoti di bassa intensita’ non possono essere considerati come una valvola di sfogo per evitare i terremoti catastrofici. In una regione, il fatto di avere tanti terremoti di piccola intensita’ non esclude la possibilita’ che ci possa essere un terremoto catastrofico. Questo perche’ come abbiamo visto passando da un terremoto di magnitudo M ad uno di magnitudo M+1 comporta un’energia piu’ grande di un fattore 32 rispetto al terremoto di magnitudo M. Allo stesso modo pero’ la legge G-R prevede che passando da una magnitudo M ad M-1 il numero di terremoti aumenti di un fattore 10. Quindi ci possiamo aspettare solo 10 terremoti con magnuitudo M-1 rispetto ai 32 necessari per smaltire l’energia di un terremoto di magnitudo M. Ovviamente se il parametro b della legge G-R fosse molto vicino 1.5 allora sarebbe possibile scaricare l’energia accumulata dalla crosta terrestre tramite tanti piccoli terremoti.

Il parametro b dell’equazione di G-R e’ molto prossimo ad 1 anche se non per tutte le zone del mondo. Basta per esempio considerare i terremoti avuti dal 2009 al 2013 nella regione Abruzzo per vedere che il parametro b e’ pari a 0.975 con una variazione del 14% rispetto al valore ottenuto considerando l’Italia intera. Questo significa che l’Abruzzo e’ una regione dove e’ piu’ alta la probabilita’ di terremoti rispetto alla media italiana essendo il valore del parametro b piu’ piccolo. Osservare come il fattore moltiplicativo dipenda da 10^-b e quindi piccole variazioni in b comportano grandi variazioni nel numero di terremoti.

 

FMD degli eventi sismici registrati in Abruzzo dal 2009 al 2013

Correlazione logN e magnitudo per I terremoti dell’Abruzzo tra il 2009 e il 2013. La pendenza del fit lineare rappresenta il coefficiente b (0.975) della relazione G-R e l’intercetta il valore a (5.853)

 

L’importanza della distribuzione FMD sta nel fatto che essa puo’ essere utilizzata per fare previsioni probabilistiche del pericolo di un sisma.  Riscrivendo la legge  di  G-R possiamo calcolare la probabilita’ che si verifichi un terremoto di magnitudo M maggiore di un certo valore di soglia Mt:

P(M>M_t) = 10(a-bM)/ dT

dove dT e’ il periodo temporale di osservazione (1900-2006 = 106 anni nel nostro caso). Usando a=8.656 e b=1.132 per il caso dei terremoti italiani dal 1900 al 2006 troviamo che un terremoto con magnitudo 6 o maggiore ha una probabilita’ annuale di circa 18%. In altre parole in Italia ci possiamo aspettare un terremoto con magnitudo di 6 o piu’ circa ogni 6 anni. Questo valore e’ confermato dall’analisi statistica dei terremoti Italiani con magnitudo maggiore o uguali a 6 nel periodo in considerazione. Come si vede dal grafico l’intervallo di tempo medio e’ di 6.57 anni, molto prossimo ai ~6 anni trovati con la legge di G-R. Dal grafico della probabilita’ cumulata si osserva anche che c’e’ una probabilita’ del 90% di avere un terremoto di intensita’ uguale o superiore a 6 nell’arco di 10 anni.

 

 

Come  gia' detto e’ molto importante il valore di a e b nella  legge  di   G-R. Qui sotto l’andamento della probabilita’ annuale di avere un terremoto di magnitudo maggiore o uguale a 6 in funzione del valore di b avendo assunto a=8.656. Un valore di b molto piccolo fa si che aumenti significativamente la probabilita’ annuale di un terremoto. Osserviamo anche che con un valore di b superiore a ~1.4 la probabilita’ di avere terremoti di intensita’ uguale o superiore a 6 e’ praticamente nulla. Da tutto cio’ si capisce che e’ molto importante stabilire con buona precisione il valore di a e b di una data regione per avere previsioni affidabili. Ma questo non e’ un impresa facile; questi valori sembrano cambiare non solo spazialmente ma anche temporalmente. Sono stati individuati infatti fino a 4 tipi di comportamento nel tempo. Nel primo il valore di b diminuisce prima dei grandi sismi. Nel secondo il valore di b prima aumenta e poi improvvisamente diminuisce prima di un evento catastrofico. Nel terzo modello il valore di b varia durante tutta la fase di assestamento mentre nel quarto modello il valore di b varia significativamente tra una regione e l’altra e durante lunghi periodi di tempo indipendentemente dall’intensita’ del sisma.

 

Andamento della probabilita’ annuale di un terremoto di magnitudo maggiore o uguale a 6, 7, 8 e 9 in Italia in funzione del valore di b avendo fissato a=8.656

Un esempio per tutti. In una piccola cittadina della California, Parkfield, sono stati documentati 6 terremoti di magnitudo 6 tra il 1857 e il 1966. In base a quanto detto ci si aspettava un terremoto di intensita’ pari a 6 intorno al 1988. Ma questo terremoto non c’e’ mai stato almeno fino ad oggi.

 

In prima approssimazione i terremoti non mostrano nessuna regolarita’ temporale e quindi e’ giusto assumere come distribuzione dei tempi di attesa una distribuzione di Poisson. Se mediamo i terremoti su una regione abbastanza vasta questa assunzione e’ pienamente verificata. Per esempio, il tasso globale di terremoti di magnitudo maggiore di 5 e’ quasi costante come richiesto da una distribuzione di Poisson.

 

Numero annuale di terremoti con magnitudo maggiore di 5 come ricavato dal database sella NEIC.

 

Questa distribuzione fu scoperta dal francese Simeon Denis Poisson nel 1837; essa permette il calcolo della probabilita’ del verificarsi o no di un certo numero di eventi in un intervallo temporale definito purche’ tali eventi si manifestino con un un tasso medio costante e siano indipendenti nel tempo.

Secondo quanto trovato da Poisson, la probabilita’ P di avere n terremoti in un intervallo temporale t e’ data da:

P(n, t,dt) = (t /dt )ⁿ e^{-t/ dt}/ n!

dove dt e’ il tempo medio tra un terremoto e l’altro (il suo inverso e’ il tasso). Quindi la probabilita’ che non si verifichi nemmeno un terremoto in un intervallo temporale t e’ data da:

P(0, t, dt) = e^{-t/d t}

oppure la probabilita’ che se ne verifichi almeno 1 e’ data da:

P(n>=1, t,dt) =1- P(0, t, dt) = 1- e^{-t/ dt}

Usando per esempio la distribuzione di Poisson per eventi con magnitudo maggiore di 7 e un tasso di 0.05 terremoti al giorno possiamo stabilire che la probabilita’ che ci sia un evento in 14 giorni e’ del 50% e del 90% in 46 giorni.

Comunque le scosse di assestamento che si presentano dopo ogni evento principale e gli sciami sismici sono chiari eventi che violano l’assunzione di una distribuzione poissoniana. Dopo una scossa principale ci saranno sempre delle scosse di assestamento che si verificano nelle vicinanza della frattura principale

Un esempio e’ il terremoto dell’Aquila dove dopo la scossa principale avvenuta il 6 Aprile 2009 con magnitudo 6.3 l’attivita’ sismica e’ continuata per anni decadendo secondo la cosiddetta legge di Omori

N=At^-a

dove A ed a sono due costanti, N e’ il numero di scosse e t il tempo trascorso rispetto alla scossa principale.

Dopo questa breve analisi cosa possiamo dire sulla previsione dei terremoti? E’ solo questione di tempo? Oggi non siamo capaci di prevedere i terremoti e chiunque afferma il contrario verra’ smentito dal prossimo catastrofico sisma non predetto. Ma un giorno ci riusciremo? Forse si ma non domani. Forse tra 10, 20 anni o forse mai. La natura per poter essere “creativa” deve stare all’edge del caos. Questo e’ vero per tutti i sistemi complessi che mostrano una grande resilienza e adattabilita’ a spesa dell’imprevedibilita’. Non si puo’ volere tutto dal nostro universo…………