La super-formula della Natura

Da sempre la forma delle piante e degli organismi ha  affascinato e incuriosito scienziati e ricercatori di tutto il mondo. In natura sono molto comuni le forme sferiche, circolari e cilindriche anche se non mancano forme anche molto piu’ complesse.

Molte di queste oggi possono essere descritte tramite degli appropriati algoritmi capaci di generare delle strutture virtuali. Tuttavia non e’ possibile trovare un algoritmo che riesca a descrivere esattamente una struttura naturale.

Nel 2003, comunque, un botanico belga, Johan Gielis, ha scoperto una “super-formula” capace di descrivere molte figure geometriche presenti in Natura semplicemente variando alcuni parametri caratteristici.

Per un certo valore di tali parametri si ottiene un cerchio, per un altro un quadrato, per un altro ancora un triangolo, e cosi via. Gielis, nel suo articolo pubblicato sul giornale, American Journal of Botany, mostra come molte delle forme della Natura, possono essere interpretate come dei semplici cerchi modificati.

La formula e’ data da:

Si tratta dell’equazione parametrica di una curva espressa in coordinate polari, dove r e’ il raggio e theta  l’angolo. Al variare dei parametri a, b, m, n1, n2 e n3 questa curva puo’ trasformarsi in quadrati, cerchi, ellissi, e tante altre figure da scoprire.

La variabile m definisce i zero-goni (m=0), mono-goni (m=1) e bi-goni (m=2) come anche  triangoli, quadrati e poligoni con un numero di simmetrie rotazionali maggiore. Il valore di m permette agli assi ortogonali di piegarsi all’interno e all’esterno come in un ventaglio.

I valori di n1 e n2 determinano se la forma e’ iscritta o circoscritta dal cerchio unitario. Per n2=n3<2 la forma e’ iscritta (sotto-poligoni) mentre per n2=n3>2 la forma e’ circoscritta dal cerchio unitario (super-poligoni).

Nelle tabelle di seguito vengono mostrate alcune forme che possono essere generate con la super-formula.

Esempio di varie forme ottenute con la super-formula per diversi valori dei suoi parametri

Famiglie di curve generate dalla super-formula con a=b=1, e valori di n1=n2=n3 che vanno da 1 a 8.

Una grande varieta’ di forme dai diversi regni della natura (come per esempio il regno animale e vegetale) possono essere modellate con la super-formula. Mai nessuno era riuscito ad inglobare in una singola formula cosi tante forme diverse in Natura come si puo’ vedere nella figura 3. Le diverse forme della Natura, in questo caso, altro non sono che il risultato di una combinazione di numeri. Un’ appropriata estensione della super-formula permette di descrivere anche forme piu’ complesse ed irregolari che si trovano nel nostro mondo.

Ricorrendo alle parole del suo scopritore Gielis possiamo dire che: la super-formula permette di catturare la semplicita’ matematica e la bellezza di molte forme naturali che differiscono semplicemente per il valore di 5 parametri; essa permette una semplificazione della complessita’ di certe forme e di acquistare una nuova conoscenza sulla simmetria della Natura. Visto che c’e’ una perfetta corrispondenza con le forme naturali, continua Gielis, e’ possibile postulare che la super-formula riveli la geometria base della Natura e quindi essa possa diventare un giorno un potente mezzo per studiare il mondo intorno a noi.

Al momento ancora non e’ chiaro se la super-formula di Gielis avra’ un impatto o no sulle attuali teorie biologiche riguardanti le forme e le simmetrie naturali. Cio’ nondimeno, questa formula fornisce a tutti delle nuove opportunita’ per divertenti e colorate esplorazioni grafiche.

La straordinaria coincidenza tra le forme della Natura e quelle della super-formula.

L’asimmetria del tempo.

 

Analizzando i dati collezionati in 10 anni di esperimenti (miliardi di collisioni tra particelle) i ricercatori della collaborazione Babar, hanno trovato che particelle di un certo tipo (chiamate mesoni Bo) si trasformano in particelle di un altro tipo con ritmi diversi a secondo della direzione del tempo, una violazione della simmetria del tempo ed una conferma che qualche processo subatomico ha una direzione preferenziale del tempo. I dati sono stati pubblicati sul giornale Physical Review Letters. Si tratta di risultati significativi con un errore minore di 1 su 10^43 (ben oltre la soglia per dichiarare una scoperta).

Nell’immagine semplificata riportata qui sotto, due diversi mesoni B stanno passando da uno stato all’altro (rappresentato dai diversi colori); comunque il B-blu cambia nel B-rosso piu’ rapidamente di quanto faccia il rosso-B in blu-B (un processo che va indietro nel tempo come mostrato dall’orologio al contrario). Per queste trasformazioni il tempo e’ stato provato essere asimmetrico. I cambiamenti avvengono con un ritmo diverso a seconda della freccia del tempo in accordo con I risultati dell’esperimento Babar.

Vediamo un attimo che cosa e’ la collaborazione Babar. Si tratta di un esperimento designato per studiare alcune delle questioni fondamentali dell’Universo esplorando I suoi costituenti fondamentali: le particelle elementari. Originariamente l’esperimento era stato realizzato per spiegare quali fossero le differenze tra materia e antimateria e del perche’ l’Universo contiene piu’ materia che antimateria. Ma durante gli anni di servizio, Babar ha fornito altre risposte comunque fondamentali per la comprensione dell’Universo come:

• Ci sono altre particelle oltre a quelle gia’ scoperte?
• Come e’ possibile migliorare la nostra comprensione delle proprieta’ delle particelle e di come loro interagiscono?
• Le particelle fondamentali si legano insieme in modi che noi ancora non conosciamo?
• Quali sono I parametri che descrivono il mondo delle particelle?
• Le particelle di materia oscura interagiscono con le normali particelle in qualche altro modo oltre che con la gravita’?

Ma come funziona l’esperimento Babar?

Utilizzando l’acceleratore SLAC si fanno scontrare elettroni e positroni (elettroni con carica positiva) a differenti energie, generando dei mesoni B che vivono per un corto periodo di tempo prima di decadere (vedi schizzo sottostante). Gli esperimenti per stabilire l’asimmetria del tempo sono stati fatti con questi mesoni B.

Gran parte delle nostre conoscenze fisiche derivano dalla nozione di simmetria. La proprieta’ fondamentale di simmetria alla base del cosiddetto modello standard e’ descritta dal teorema CPT L’acronimo si riferisce a delle particolari trasformazioni:

1) Charge conjugation: scambio della carica da positiva a negativa e viceversa

2) Parity operation: scambio della destra con la sinistra e viceversa (e’ come guardare la realta’ allo specchio)

3) Time reversal: fare andare indietro il tempo nel senso di sostituire nelle relazioni fisiche tutte le t con –t).

Si presume che le leggi della fisica siano simmetriche rispetto alle trasformazioni CPT cioe’ debbano rimanere invariate (le stesse) quando applichiamo l’operazione CPT. Ma cosa dovrebbe accadere alla materia se ad essa applichiamo le trasformazioni CPT? Dovremmo ottenere dell’antimateria.

Per ogni particella della materia ordinaria deve esistere una particella di antimateria con la stessa massa, vita media e spin ma con carica e momento magnetico opposto. 
Un esempio e’ costituito dai positroni o antielettroni e dagli antiprotoni (dei protoni negativi) che insieme formano un atomo di antidrogeno.  

Ma perche’ e’ cosi importante il teorema CPT e la sua eventuale violazione? La risposta sta nell’asimmetria tra materia e antimateria presente nel nostro universo. Cerchiamo di approfondire questo tema.

La materia orindaria come tutti sanno e’ fatta di atomi che a loro volta sono costituiti da un nucleo centrale con degli elettroni che gli orbitano intorno. I nuclei a loro volta sono fatti di protoni e neutroni i cui costituenti finali sono i cosiddetti quarks (up e down in diverse combinazioni).In definitiva quindi tutto cio’ che e’ all’interno del nostro universo e’ fatto di quarks ed elettroni. Queste sono quelle che noi chiamiamo le particelle elementari.

Oltre alla materia esiste anche quella che I fisici chiamano l’antimateria. Essa e’ uguale alla materia ordinaria a differenza della carica elettrica che e’ di segno opposto. Da un punto di vista teorico e’ possibile avere degli antinuclei, antiatomi e anche anti-solidi. Ma dov’e’ l’antimateria nell’universo? Secondo la meccanica quantistica che regola I fenomeni a scala atomica e subatomica quando materia e antimateria si incontrano si annichilano trasformando la loro energia in luce.

>Anche se l’antimateria sembra essere qualche specie di materia esotica, essa viene utilizzata per esempio negli ospedali per la PET (positron emission tomography).

Ritornando al nostro universo, perche’ oggi la stragrande maggioranza degli oggetti sono fatti di materia e non di antimateria? Poiche’ materia ed antimateria si annichilano, subito dopo il Big Bang essendo la quantita’ di materia ed antimateria la stessa noi avremmo dovuto avere un universo vuoto con all’interno solo luce. Ma noi sappiamo che non e’ cosi. E allora come sono andate le cose?

La risposta sembra venire dai risultati sperimentali di Babar che indicano che molto probabilmente le leggi della fisica per la materia e antimateria non sono esattamente le stesse avendo cosi all’inizio del nostro universo uno sbilanciamento piccolo verso la materia e con la scomparsa dell’antimateria dopo l’interazione con la materia ordinaria con conseguente emissione di luce. E questa asimmetria potrebbe essere dovuta proprio alla violazione delle trasformazioni CP e CPT. Qui di seguito un esempio di trasformazione CP utilizzando un quadro di Escher.

L’armonia planetaria

Il grande scienziato Laplace, era convinto che se avessimo potuto conoscere la posizione e la velocita’ iniziale di tutti i corpi presenti nel cosmo, saremmo riusciti a predire con esattezza il futuro e il passato dell’Universo. Se questa affermazione risultasse vera, conoscendo le masse, le velocita’ e le posizioni di tutti i corpi del sistema solare, sarebbe possibile determinare le loro traiettorie per tempi arbitrariamente lunghi. La descrizione del moto dei pianeti, ha stimolato da sempre la mente di diversi scienziati. Scoperte decisive nella determinazione delle leggi fisiche che governano il moto dei pianeti sono state fatte da scienziati del calibro di Copernico, Galileo, Keplero e Newton. Nonostante tutti gli sforzi, ad oggi la meccanica celeste dei due corpi (per esempio il sistema terra-sole) e’ l’unica ben sviluppata e compresa, mentre il problema dei tre o piu’ corpi (per esempio sole-terra-luna) e’ molto complesso. Esso, infatti non ammette soluzioni analitiche, e l’unica possibilita’ rimane quella di ricorrere a metodi numerici. Anche la versione semplificata del modello, il cosiddetto problema dei tre corpi ristretto, in cui la massa di uno dei corpi e’ trascurabile rispetto alla massa totale del sistema, puo’ esibire delle dinamiche molto complesse, nel senso che piccole variazioni nelle condizioni iniziali possono portare a differenze significative nelle traiettorie future dei corpi. In questo caso si parla di sistema dinamico caotico. Indicando con , una piccolissima differenza tra due condizioni iniziali, in un sistema dinamico caotico, la differenza al tempo t, tra le due traiettorie inizialmente molto vicine sara’ determinata dalla relazione

dove  

 

 

e’ chiamato l’esponente di Lyapunov. Notare che per tempi

l’amplificazione di fluttuazioni microscopiche e’ cosi’ spinta che la prevedibilita’ di qualsiasi traiettoria individuale e’ completamente impossibile.

Ma cosa possiamo dire riguardo al nostro sistema solare? Si tratta di un sistema dinamico stabile? E’ possibile per esempio, predire il moto di un singolo pianeta per i prossimi miliardi di anni?

Essendo il sistema solare, un sistema con molti gradi di liberta’ (9 pianeti piu’ il sole che moltiplicato per i 3 gradi di liberta’ di ognuno fanno 30 gradi di liberta’) e’ chiaro che ci si aspetta un sistema dinamico caotico. E questo in effetti e’ il risultato ottenuto di recente dal team del ricercatore Laskar, che con delle simulazioni numeriche molto accurate, e’ riuscito a stimare un tempo di Lyupanov per l’intero sistema solare di circa 5 milioni di anni. Questo significa che un’incertezza iniziale di 1 Km sulla posizione iniziale di un pianeta, puo’ arrivare ad un’unita astronomica (AU=1.5E+8 Km) dopo 95 milioni di anni.

Il fatto che l’esponente di Lyapunov non e’ molto grande, significa che il sistema solare non ha un alto grado di caoticita’, dovuto alla possibilita’ di trascurare l’interazione gravitazionale tra i pianeti rispetto a quella tra i pianeti e il sole. Come esempio di esponente di Lyapunov, nella figura 1, viene riportata la divergenza tra due orbite di Plutone inizialmente molto vicine al trascorrere degli anni.

 

Figura 1: La divergenza d (in unita’ astronomiche) tra due orbite di Plutone inizialmente vicine, cresce esponenzialmente nel tempo (in milioni di anni). Il fit lineare dei dati, comporta un tempo di Lyupanov dell’ordine dei 10 milioni di anni.

Gli studi al computer della storia caotica del sistema solare, sono diventati un ramo molto importante ed interessante della fisica non-lineare, che hanno aperto nuove possibilita’ per la comprensione delle orbite dei pianeti del sistema solare e di altre stelle. In effetti, ci sono state speculazioni sulla struttura numerica delle orbite dei pianeti, fin dal diciottesimo secolo, quando J. Titius e J. Bode notarono una relazione regolare tra le distanze medie dei pianeti dal sole come indicato nella Tabella 1. Ponendo la distanza Terra-Sole uguale ad un’unita’ astonomica (AU), la regola di Titius-Bode e’ data da:

dove a e’ la distanza media del pianeta dal sole in AU ed n e’ il numero planetario che corrisponde a 0 per Venere e per Mercurio. Questa formula riusci’ a predire con buona approssimazione la posizione di Urano, scoperto nel 1781, cioe’ 9 anni dopo la formulazione della regola. Tuttavia per Nettuno e Plutone scoperti successivamente, la formula di Titius-Bode si e’ dimostrata essere non precisa e questo ha fatto si che diversi studiosi, hanno elaborato una versione piu’ recente capace di predire non solo le distanze di Nettuno e Plutone ma anche dei satelliti di Giove, Saturno ed Urano. L’accordo tra le distanze predette e quelle osservate per i vari satelliti e’ qualche cosa di eccezionale con degli errori di alcuni per cento. La versione recente della legge di Titius-Bode e’ data da:

con k una costante uguale a 0.21363 AU e

 

Ultimamente, sempre il ricercatore Laskar e il suo team, usando una combinazione di tecniche numeriche ed analitiche, ha scoperto la seguente relazione, valida non solo per il sistema solare ma anche per i pianeti extrasolari recentemente scoperti:

dove a, come sempre e’ la distanza media dal sole, n il numero planetario e k una costante. Laskar ha trovato k=0.14 per i pianeti interni del sistema solare e 0.81 per i pianeti esterni.

 

Tabella 1: Distanze medie planetarie dal sole in unita’ astonomiche e corrispondenti valori della regola di Titius-Bode, dei risultati di Laskar e del modello quantistico di Nottale.

Sia la legge di Titius-Bode che i calcoli numerici di Laskar, suggeriscono un qualche ordine sottostante, una qualche regolarita’ celeste paragonabile a quella dell’atomo di idrogeno prima della versione quantizzata di Bohr e Schroedinger. Proprio da questo tipo di osservazioni e’ partita l’analisi del gruppo di uno studioso francese, Laurent Nottale, che ha congetturato che le traiettorie degli elettroni negli atomi e i pianeti del sistema solare su una scala temporale maggiore di 0.1 miliardi di anni subiscono una sorta di moto Browniano, che e’ continuo ma non differenziabile, come il perimetro di una curva di Koch o di una costa marina. Essi hanno proposto una teoria per calcolare le probabilita’ delle orbite planetarie che da un punto di vista formale sono identiche a quelle della meccanica quantistica formulate da Schroedinger e Bohr per le orbite elettroniche negli atomi, nonostante l’utilizzo di parametri completamente diversi. Come per il caso dei raggi delle orbite elettroniche dell’atomo di idrogeno, proporzionali al quadrato di n, Laurent Nottale e il suo gruppo ritiene che le distanze medie dei pianeti siano date da:

dove n e’ l’indice orbitale e alfa una costante di proporzionalita’ per i pianeti interni (indicata col pedice i) ed esterni (indicata col pedice o).

Poiche’ per i pianeti interni risulta

e l’indice di Mercurio e’ uguale a 3, questo significa che c’e’ la possibilita’ di due pianeti interni molto vicini al Sole, molto probabilmente evaporati dal calore del Sole o uno evaporato (quello piu’ vicino al Sole) e l’altro ancora da scoprire. La costante dei pianeti esterni, invece, e’ pari a 1.125 AU. La relazione di Nottale e’ in ottimo accordo con i dati misurati, compresi gli asteroidi piu’ grandi, i satelliti dei pianeti del sistema solare e anche di molti dei pianeti extrasolari (vedi figura 2).

Ma questi risultati sono delle idee credibili da un punto di vista scientifico o si tratta di semplice numerologia? Al momento e’ difficile dirlo. Solo le osservazioni di altri pianeti extrasolari ed extragalattici, ed ulteriori studi teorici in quest’area potranno fornire, una risposta definitiva. Al momento lasciamoci sorprendere dalla grande efficacia della matematica nel descrivere tutto cio’ che ci circonda dall’infinitamente piccolo all’infinitamente grande.

 

Figura 2: Radice quadrata del rapporto (a/M) con a in AU ed M in masse solari in funzione dell’intero n, per i pianeti interni del sistema solare e alcuni pianeti extrasolari scoperti da poco.